Đề bài: Chứng minh rằng:$\sqrt[n]{2}\leq \sqrt[n]{1-x}+ \sqrt[n]{1+x},  \forall |x| \leq 1,n \in Z,n\geq 2$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:$\sqrt[n]{2}\leq \sqrt[n]{1-x}+ \sqrt[n]{1+x},  \forall |x| \leq 1,n \in Z,n\geq 2$
Lời giải

$|x|\leq 1 \Rightarrow$ Đặt: $x=\cos 2\alpha,\alpha \in [0,\frac{\pi}{2}]$
$\Rightarrow \sqrt[n]{1-x}+ \sqrt[n]{1+x}=\sqrt[n]{2\sin^{2}\alpha}+ \sqrt[n]{2\cos^{2}\alpha}$$=\sqrt[n]{2}(\sin^{\frac{2}{n}}\alpha+\cos^{\frac{2}{n}}\alpha)$
                                             $\geq \sqrt[n]{2}(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)=\sqrt[n]{2}$
(vì $sin\alpha, cos\alpha\in[0;1]($do $\alpha\in[0;\frac{\pi}{2}]) $ và $\frac{2}{n}$\Rightarrow $(ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác