Đề bài: Chứng minh rằng với $a$ là số thực không âm thì:      $\sqrt{a}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{a}\leq a+2            (1)$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với $a$ là số thực không âm thì:      $\sqrt{a}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{a}\leq a+2            (1)$
Lời giải

Đặt $u=\sqrt[6]{6}, u\geq 0.$
Từ đó ta có:
$(1)\Leftrightarrow u^3+u^2+u\leq u^6+2\Leftrightarrow A=u^6-u^3-u^2-u+2\geq 0.$
Xét:
$A=u^6-u^3-u^2-u+2=(u^6-2u^3+1)+u(u^2-2u+1)+(u^2-2u+1)$
     \(=(u^3-1)^2+u(u-1)^2+(u-1)^2
\)
Vì $u\geq 0$ nên mỗi số hạng của $A$ đều không âm do đó $A\geq 0$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $u=1$ tức $a=1$.
$A\geq 0$ suy ra ta có đpcm.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác