Lời giải
Đề bài:
Cho $\begin{cases}a>0 \\ a^{2}=bc \\ a+b+c=abc \end{cases}$Chứng minh rằng: $b,c>0$.
Lời giải
Ta có: $\begin{cases}a>0 ,(1) \\ a^{2}=bc ,(2)\\ a+b+c=abc ,(3)\end{cases}$
Sử dụng BĐT cơ bản: $(b+c)^{2} \geq 4bc$,
$\Rightarrow [a(bc-1)]^{2}\geq 4bc$ (kết hợp với đk (3) )
$\Rightarrow [a(a^{2}-1)]^{2}\geq 4bc=4a^{2}$ ( kết hợp đk (2) )
$
\Rightarrow (a^{2}-1)^{2}\geq 4$
$
\Rightarrow (a^{2}-3)(a^{2}+1) \geq 0$.
Bởi $ (a^{2}+1) > 0, \forall a \Rightarrow a^{2} \geq 3 ,$
$\Rightarrow \begin{cases}bc>0 \\ b+c=a(a^{2}-1)>0 \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}b>0 \\ c>0 \end{cases}\Rightarrow$ (ĐPCM)
=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác
Trả lời