Đề bài: Chứng minh rằng:$-\frac{1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:$-\frac{1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}$
Lời giải

Đặt: $\begin{cases}a=\tan \alpha \\b=\tan \beta \end{cases}(\alpha,\beta \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}))$
$\Rightarrow \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}=(\tan \alpha+\tan \beta )(1-\tan \alpha.\tan \beta )\cos^{2}\alpha\cos^{2} \beta $
$=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta).\cos\alpha\cos\beta$
$=\sin (\alpha+\beta).\cos(\alpha+\beta)$
$=\frac{1}{2}\sin (2\alpha+2\beta) \in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$
$\Rightarrow$(ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác