Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 3$ ta đều có:        ${n^{n + 1}} > {(n + 1)^n}$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 3$ ta đều có:        ${n^{n + 1}} > {(n + 1)^n}$
Lời giải

Có $3^4=81,4^3=64\Rightarrow 3^4>4^3\Rightarrow $ BĐT cần chứng minh đúng với $n=3$
Với $n>3$, đpcm $\Leftrightarrow n>(\frac{n+1}{n})^n\Leftrightarrow (1+\frac{1}{n})^nTa có:
$\Leftrightarrow (1+\frac{1}{n})^n=\sum\limits_{k = 0}^n {\mathop C\nolimits_n^k }.\frac{1}{n^k}$
$=1+\frac{n}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}.\frac{1}{n^2}+…..+\frac{n(n-1)….(n-n+1)}{n!}.\frac{1}{n^n}$
$=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+….+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})…..(1-\frac{n-1}{n})$$$\Rightarrow (1+\frac{1}{n})^n

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác