Đề bài: Chứng minh rằng:$-\frac{1}{4}\leq \frac{(a^{2}-b^{2})(1-a^{2}b^{2})}{[(1+a^{2})(1+b^{2})]^{2}}\leq \frac{1}{4}$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:$-\frac{1}{4}\leq \frac{(a^{2}-b^{2})(1-a^{2}b^{2})}{[(1+a^{2})(1+b^{2})]^{2}}\leq \frac{1}{4}$
Lời giải

Đặt:$\begin{cases}a=\tan \alpha \\ b=\tan \beta \end{cases}(\alpha,\beta \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}))$
Suy ra:
$\frac{(a^{2}-b^{2})(1-a^{2}b^{2})}{[(1+a^{2})(1+b^{2})]^{2}}=\frac{(\tan^{2} \alpha-\tan^{2} \beta)(1-\tan^{2} \alpha.\tan^{2} \beta)}{[(1+\tan^{2} \alpha)(1+\tan^{2} \beta)]^{2}}$
$=\frac{(\sin^{2}\alpha.\cos^{2}\beta-\sin^{2}\beta.\cos^{2}\alpha)(\cos^{2}\alpha.\cos^{2}\beta-\sin^{2}\alpha.\sin^{2}\beta)}{(\cos\alpha.\cos\beta)^{4}.\frac{1}{(\cos\alpha.\cos\beta)^{4}}}$
$=\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta).\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$
$=\frac{1}{4}\sin(2\alpha+2\beta).\cos(2\alpha+2\beta) \in [-\frac{1}{4},\frac{1}{4}]$
$\Rightarrow $(ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác