Đề bài: 1)    Tìm a để bất phương trình sau đúng với $\forall x \in [- 2;4 ]:$$ – 4\sqrt {( 4 – x )( x + 2} )  \le x^2 – 2x  +  a  –  18 $            (1)2) Tìm a và b để bất đẳng thức sau đúng với $\forall x$ $| cos2x + acosx + b – 1| \le 1$      (2)

Lời giải

Đề bài:
1)    Tìm a để bất phương trình sau đúng với $\forall x \in [- 2;4 ]:$$ – 4\sqrt {( 4 – x )( x + 2} )  \le x^2 – 2x  +  a  –  18 $            (1)2) Tìm a và b để bất đẳng thức sau đúng với $\forall x$ $| cos2x + acosx + b – 1| \le 1$      (2)
Lời giải

1)    (1) $ \Leftrightarrow -{x^2} + 2{\rm{x  –  a  + 18  –  4}}\sqrt {{\rm{ – }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + 2{\rm{x + 8}}}  \le 0$
Đặt $\sqrt {{\rm{ – }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + 2{\rm{x + 8}}} $= t, với $x \in \left[ { – 2;4} \right]$
Nhận xét : $ -x^2+2x+8 = 9-(x-1)^2 \le 9$ suy ra $t \in \left[ {0;3} \right]$.
Do đó : (1) thỏa mãn với mọi $x \in \left[ { – 2;4} \right]$
$ \Leftrightarrow f(t) = {t^2} – 4t + 10 – a \le 0$ với mọi $t \in \left[ {0;3} \right]$
Lập bảng biến thiên của f(t) với $t \in \left[ {0;3} \right]$
Từ đó, ta có:
$f(t) \le 0$ với mọi $t \in \left[ {0;3} \right]$$ \Leftrightarrow 10 – a \le 0 \Leftrightarrow a \ge 10$

2)    Điều kiện cần là (2) phải đúng với $x = 0,\frac{\pi }{2},\pi  \Rightarrow $ ta được :
Với $x = 0$ : $\left| {a + b} \right| \le 1 \Leftrightarrow  – 1 \le a + b \le 1$                (3)
Với $x = \frac{\pi }{2}$ : $\left| {b – 2} \right| \le 1 \Leftrightarrow 1 \le b \le 3$                (4)
Với $x = \pi $ : $\left| { – a + b} \right| \le 1 \Leftrightarrow  – 1 \le  – a + b \le 1$            (5)
Cộng từng vế (3) và (5) ta được $ – 1 \le b \le 1$ (6)
(6) và (4) $ \Rightarrow b = 1$. Với $b = 1$ thay vào (3) và (5) ta lần lượt có
$\left\{ \begin{array}{l} -2 \le a \le 0 \\ 0 \le a \le 2 \end{array} \right. \Rightarrow a = 0$
Điều kiện đủ: Với $b = 1,a = 0$ (2) trở thành $\left| {c{\rm{os2x}}} \right| \le 1$ rõ ràng đúng với $\forall x$
Vậy để (2) đúng với $\forall x$ $ \Leftrightarrow a = 0,b = 1$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác