• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\)

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Các dạng bất đẳng thức khác

adsense
Đề bài: Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\)

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\)
Lời giải

adsense

 Đặt \({a_k} = C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n\left( {0 \le k \le n} \right)\).
Ta chứng minh rằng \({a_0} > {a_1} > … > {a_n}\,\,\left( 1 \right)\)

Thật vậy, biến đổi tương đương ta được:
\({a_k} > {a_{k + 1}}\left( {0 \le k \le n – 1} \right)\,\,\left( 2 \right)\)
\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{\left( {2n + k} \right)!}}{{n!\left( {n + k} \right)!}}.\frac{{\left( {2n – k} \right)!}}{{n!\left( {n – k} \right)!}} > \frac{{\left( {2n + k + 1} \right)!}}{{n!\left( {n + k + 1} \right)!}}.\frac{{\left( {2n – k – 1} \right)!}}{{n!\left( {n – k – 1} \right)!}}\\  \Leftrightarrow \frac{{2n – k}}{{n – k}} > \frac{{2n + k + 1}}{{n + k + 1}}\\
 \Leftrightarrow \left( {2n – k} \right)\left( {n + k + 1} \right) > \left( {n – k} \right)\left( {2n + k + 1} \right)\\  \Leftrightarrow 2nk + n > 0
\end{array}\)
Ta thu được bất đẳng thức đúng. Suy ra $(1)$ đúng.
Do đó \({a_k} = C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2} = {a_0}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(k = 0\)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Các dạng bất đẳng thức khác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a) $\sqrt{x^2-2x+5 }+\sqrt{ x^2+2x+10}  \geq \sqrt{ 5} $b) $\sqrt{(a-b)^2+c^2 }+\sqrt{(a+b)^2+c^2 } \geq  2\sqrt{ a^2+c^2} $
  2. Đề bài: 1)    Chứng minh $x^2+2xy+3y^2+2x+6y+3\geq 0$ đúng với $\forall x,y$2)    Tìm $m$ để $9x^2+20y^2+4z^2-12xy+6xz+myz\geq 0$ đúng với $\forall x,y,z$3)    Giả sử $a > b > c$, chứng minh: $(x + a + b + c)^2 > 8(bx  +  ac)$ đúng với $\forall x$
  3. Đề bài: Chứng minh nếu $a,b,c\in (0;1)$ thì có ít nhất 1 bất đẳng thức sau sai:$4a(1-b)>1; 4b(1-c)>1;4c(1-a)>1$
  4. Đề bài: $\forall n\in N$\ $\left\{ \begin{array}{l} \end{array} \right.\left. 0,1 \right \},\forall a,b \geq 0$Chứng minh rằng: $|\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}|\leq \sqrt[n]{|a-b|}$
  5. Đề bài: Chứng minh rằng:$\sqrt{(a+c)^{2}+b^{2}}+\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}\geq 2\sqrt{a^{2}+b^{2}}    ;\forall a,b,c \in R$
  6. Đề bài: Cho $n \in N$.Chứng minh rằng:$e^{x} \geq 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+…+\frac{x^{n}}{n!},\forall x \geq 0$
  7. Đề bài: Chứng minh rằng với $n$ nguyên dương, ta có:       $(1+2^2)(1+2^{2^{2}})(1+2^{2^{3}})\times …\times (1+2^{2^{n}})
  8. Đề bài: $a/$Chứng minh rằng:$\left ( x+ y\right )^{2}-xy+1\geq \left ( x +y\right )\sqrt{3},\forall x,y$$b/$Cho $\triangle ABC$.Chứng minh rằng: $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}\geq \sqrt{3}$
  9. Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a) $\sqrt{ \cos^4a+\cos^4b}+\sin^2a+\sin^2b \geq  \sqrt{ 2} $b) $\sqrt{a^2-\sqrt{ 2}ab+b^2  }+\sqrt{b^2-\sqrt{ 3}bc+c^2  } \geq  \sqrt{a^2-\sqrt{ 2-\sqrt{ 3} }ac+c^2  }$
  10. Đề bài: Cho ba số dương $a,b,c$ trong đó $a>c b>c$.Chứng minh rằng : $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq  \sqrt{ab}     (1)  $.Dấu bằng khi nào xảy ra?
  11. Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức SCHUR: Nếu $a,b,c>0$ và $r>0$ thì:$a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-c)(b-a)+c^{r}(c-a)(c-b) \geq  0$
  12. Đề bài: Chứng minh rằng:$n^{n+3}+(n+1)^{n+3}
  13. Đề bài: Chứng minh rằng:$-\frac{1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}$
  14. Đề bài: Cho $1\geq n \in N,a_{i},b_{i} \in R,i=1,2,…,n$.Hãy chứng minh rằng:$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}).(b_{1}^{2}+…+b_{n}^{2})$
  15. Đề bài: Cho $x_1,x_2…x_n$ là $n$ số thực thuộc đoạn $[0,1]$. Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức:$x_1(1-x_2)+x_2(1-x_3)+…+x_n(1-x_1)\leq \frac{n}{2}           (1)$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.