Đề bài: Chứng minh rằng:$n^{n} > (n+1) ^{n-1} .\forall n \in Z,n \geq 2$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:$n^{n} > (n+1) ^{n-1} .\forall n \in Z,n \geq 2$
Lời giải

*$n=2 \Rightarrow \begin{cases}n^{n}=4 \\ (n+1) ^{n-1}=3 \end{cases}\Rightarrow n^{n} > (n+1) ^{n-1}$
*$n=k \geq 3:$ giả sử BĐT đúng,tức là:
$k^{k} > (k+1) ^{k-1}$
*$n=k+1$:
Xét:
$k^{k} . (k+1) ^{k+1}\geq (k+1) ^{k-1}.(k+1) ^{k+1}=$      
                            $=(k+1) ^{2k-2}(k+1) ^{2}=[(k+1) ^{2}] ^{k-1}(k+1) ^{2}>$
                            $>(k^{2}+2k) ^{k-1}(k^{2}+2k) $ (vì: $(k+1) ^{2}=k^{2}+2k+1>k^{2}+2k)$
                            $>k^{k}(k+2) ^{k}$
$\Rightarrow (k+1) ^{k+1}>(k+2) ^{k}\Rightarrow $ BĐT đúng với $n=k+1$
$\Rightarrow $(ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác