Đề bài: Cho $n \in Z,n \geq 1,a,b \geq 0$.Hãy chứng minh: $\frac{a^{n}+b^{n}}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^{n}$Hãy tổng quát hóa bài toán trên.

Lời giải

Đề bài:
Cho $n \in Z,n \geq 1,a,b \geq 0$.Hãy chứng minh: $\frac{a^{n}+b^{n}}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^{n}$Hãy tổng quát hóa bài toán trên.
Lời giải

$a)*n=1$:BĐT luôn đúng
*$n=k \in N(k\geq2):$ giả sử BĐT đúng,tức là:
$\frac{a^{k}+b^{k}}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^{k}$
*$n=k+1$.Ta cần chứng minh:
$\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^{k+1}(1)$
Thật vậy,ta có:
$ (\frac{a+b}{2})^{k+1}=\frac{a+b}{2}.(\frac{a+b}{2})^{k}\leq \frac{a+b}{2}.\frac{a^{k}+b^{k}}{2}$
Ta cần chứng minh:
 $\frac{a+b}{2}.\frac{a^{k}+b^{k}}{2}\leq \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}$
$\Leftrightarrow (a+b).(a^{k}+b^{k}) \leq 2.(a^{k+1}+b^{k+1})$
$\Leftrightarrow  a.b^{k}+a^{k}.b \leq a^{k+1}+b^{k+1}$
$\Leftrightarrow a.(a^{k}-b^{k})-b.(a^{k}-b^{k}) \geq 0$
 $\Leftrightarrow (a-b).(a^{k}-b^{k}) \geq 0$
$\Leftrightarrow(a-b)^2(a^{k-1}b+a^{k-2}b^2+…+ab^{k-1})\geq
0$  
luôn đúng 
$\Rightarrow (1)$ đúng $\Rightarrow $ ĐPCM
$b)$Bài toán tổng quát:
Cho $1\leq k \in Z,a_{1},a_{1},…,a_{1} \geq 0 $ thì:
$\frac{a^{n}_{1}+a^{n}_{2}+…+a^{n}_{k}}{k} \geq (\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{k}}{k} )^{n}$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác