Đề bài: Tìm: $\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty }\frac{a^{n}}{n^{\alpha}} (a,\alpha >0)$(Để ý:với $x\in R,|x|$ là ký hiệu phần nguyên của $x$,là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$)

Lời giải

Đề bài:
Tìm: $\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty }\frac{a^{n}}{n^{\alpha}} (a,\alpha >0)$(Để ý:với $x\in R,|x|$ là ký hiệu phần nguyên của $x$,là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$)
Lời giải

*Nếu $0Mà: $\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty }\frac{1}{n^{\alpha}}=0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty }\frac{a^{n}}{n^{\alpha}}=0 $
*Nếu $a>1$: (Xét $n>2 [\alpha]+4$)
Đặt: $b=a-1>0$
$\Rightarrow a=1+b \Rightarrow a^{n}=(1+b)^{n}=\sum\limits_{k=0}^n C^{k}_{n}1^{n-k}b^{k}=\sum\limits_{k=0}^n C^{k}_{n}b^{k}$
$=C^{0}_{n}+C^{1}_{n}b+C^{2}_{n}b^{2}+…+C^{n}_{n}b^{n}>C^{k}_{n}b^{k}$
(với $k=[\alpha]+2$)
$\Rightarrow  a^{n}>C^{k}_{n}b^{k}\geq \frac{(n-k+1)…n}{k!}b^{k}\geq \frac{(n-k+1)^{n-k}}{k!}b^{k}$
$\geq  \frac{(n-k+1)^{\alpha +1}}{k!}b^{k}$
(Vì: $n>2 [\alpha]+4$
$\Rightarrow n-k>2 [\alpha]+4-k \geq  [\alpha]+2>\alpha+1$
$\Rightarrow n-k>\alpha +1$)
$\Rightarrow \frac{a^{n}}{n^{\alpha}}>\frac{(n-k+1)^{\alpha +1}}{n^{\alpha}}.\frac{b^{k}}{k!}$
$\Rightarrow \frac{a^{n}}{n^{\alpha}}>(1-\frac{k-1}{n})^{\alpha }(n-k+1).\frac{b^{k}}{k!}$
(Mà: $\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty }(1-\frac{k-1}{n})^{\alpha}.\frac{b^{k}}{k!}=\frac{b^{k}}{k!}>0$
$\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty } (n-k+1)=+\infty$)
$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty } (1-\frac{k-1}{n})^{\alpha}.\frac{b^{k}}{k!}(n-k+1)=+\infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty }\frac{a^{n}}{n^{\alpha}}=+\infty $
Tóm lại: $ \mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty } \frac{a^{n}}{n^{\alpha}}=\begin{cases} 0,nếu  01 \end{cases}$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác