Đề bài: Cho $n \in N,n \geq 1,a_{i}>0,i=1,2,…,n$.Hãy chứng minh:$(a_{1}+a_{2}+…+a_{n}).(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+…+\frac{1}{a_{n}}) \geq n^{2}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $n \in N,n \geq 1,a_{i}>0,i=1,2,…,n$.Hãy chứng minh:$(a_{1}+a_{2}+…+a_{n}).(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+…+\frac{1}{a_{n}}) \geq n^{2}$
Lời giải

*$n=1: a_{1}.\frac{1}{a_{1}}=1^{2}:$ BĐT luôn đúng
*$n=k \in N(k\geq 2):$ giả sử BĐT đúng,tức là:
$(a_{1}+a_{2}+…+a_{k}).(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+…+\frac{1}{a_{k}}) \geq k^{2}$
*$n=k+1$
Xét:
$(a_{1}+a_{2}+…+a_{k+1}).(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+…+\frac{1}{a_{k+1}})= $
$=(a_{1}+a_{2}+…+a_{k}).(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+…+\frac{1}{a_{k}})+(a_{1}+a_{2}+…+a_{k}).\frac{1}{a_{k+1}}+$
$+a_{k+1}.(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+…+\frac{1}{a_{k}})+1$
$\geq k^{2}+(\frac{a_{1}}{a_{k+1}}+\frac{a_{k+1}}{a_{1}})+(\frac{a_{2}}{a_{k+1}}+\frac{a_{k+1}}{a_{2}})+…+(\frac{a_{k}}{a_{k+1}}+
\frac{a_{k+1}}{a_{k}})+1$
$\geq k^{2}+2.k+1=(k+1)^{2}$( Theo BĐT Côsi)
$\Rightarrow$ BĐT đúng với $n=k+1$
$\Rightarrow $(ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác