Đề bài: Đặt: $x_{n}=\underbrace {\sqrt{2+\sqrt{2+…+\sqrt{2}}}}_{n}$Chứng minh rằng: $x_{n}

Lời giải

Đề bài:
Đặt: $x_{n}=\underbrace {\sqrt{2+\sqrt{2+…+\sqrt{2}}}}_{n}$Chứng minh rằng: $x_{n}
Lời giải

Ta có: $\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow \sqrt{2}=2\cos \frac{\pi}{4}$
Suy ra: $x_{1}=\sqrt{2}=2\cos \frac{\pi}{4}$
$x_{2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}=\sqrt{2+2\cos \frac{\pi}{4}}=\sqrt{4\cos^{2} \frac{\pi}{8}}=2\cos \frac{\pi}{8}$
Ta suy ra: $x_{n}=2\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}$
Thật vậy: giả sử đẳng thức đúng với $n=k$,tức là:
$x_{k}=2\cos \frac{\pi}{2^{k+1}},k\in N^{*},k\geq 3$
$\Rightarrow x_{k+1}=\sqrt{2+x_{k}}=\sqrt{2+2\cos \frac{\pi}{2^{k+1}}}=\sqrt{4\cos^{2} \frac{\pi}{2^{k+2}}}=2\cos\frac{\pi}{2^{k+2}}$
Vậy theo nguyên lý quy nạp:
$x_{n}=2\cos \frac{\pi}{2^{n+1}},\forall n \in N^{*}$
$\Rightarrow x_{n}

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác