Lời giải
Đề bài:
Chứng minh rằng với $n$ nguyên dương, ta có: $(1+2^2)(1+2^{2^{2}})(1+2^{2^{3}})\times …\times (1+2^{2^{n}})
Lời giải
Đặt $F_n=(1+2^2)(1+2^{2^{2}})(1+2^{2^{3}})\times …\times (1+2^{2^{n}}).$
Ta đi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng:
$
\displaystyle F_n=\frac{1}{3}(2^{2^{n+1}}-1) (*)$
Thật vậy:
– Với $n=1$ thì: $
\displaystyle F_1=1+2^{2^{1}}=5=\frac{1}{3}(2^{2^{2}}-1)$ nên công thức đúng.
– Giả sử công thức đúng với n =k tức là : $
\displaystyle F_k=\frac{1}{3}(2^{2^{k+1}}-1)$
-Ta chứng minh công thức đúng với $n=k+1$, ta có:
$
\displaystyle F_{k+1}=(1+2^{2^{k+1}})F_{k}=(1+2^{2^{k+1}}).\frac{1}{3}(2^{2^{k+1}}-1)=
\frac{1}{3}(2^{2^{k+2}}-1)$, do đó công thức đúng với $n= k+1$.
Vậy, công thức $(*)$ đúng với mọi $n\in N^*$
Từ đó, suy ra ta cần chứng minh : $
\displaystyle \frac{1}{3}(2^{2^{n+1}}-1)Vậy ta có đpcm.
=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác
Trả lời