Đề bài: Cho $n \in N$.Chứng minh rằng:$e^{x} \geq 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+…+\frac{x^{n}}{n!},\forall x \geq 0$

Lời giải

Đề bài:
Cho $n \in N$.Chứng minh rằng:$e^{x} \geq 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+…+\frac{x^{n}}{n!},\forall x \geq 0$
Lời giải

*$n=0: e^{x} \geq 1,\forall x \geq 0:$ luôn đúng,Vaayh BĐT luôn đúng với $n=0$
*$n=k \in N^*:$ giả sử BĐT đúng,tức là:
$e^{x} \geq 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+…+\frac{x^{k}}{k!}$
*$n=k+1$
Xét: $f(x)=e^{x}-(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+…+\frac{x^{k+1}}{(k+1)!})$
$f'(x)=e^{x}-(1+…+\frac{x^{k}}{k!})\geq 0,\forall x \geq 0$
$\Rightarrow f(x) \geq f(0)=0\Rightarrow e^{x} \geq 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+…+\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$
Vậy theo nguyên lý quy nạp,ta có điều phải chứng minh.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác