Đề bài: Chứng minh rằng:$1\sqrt{C^{1}_{n}}+2\sqrt{C^{2}_{n}}+…+n\sqrt{C^{n}_{n}}

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:$1\sqrt{C^{1}_{n}}+2\sqrt{C^{2}_{n}}+…+n\sqrt{C^{n}_{n}}
Lời giải

Theo Bunhiacopski:
$1\sqrt{C^{1}_{n}}+2\sqrt{C^{2}_{n}}+…+n\sqrt{C^{n}_{n}} \leq \sqrt{1^{2}+2^{2}+…+n^{2}}.\sqrt{C^{1}_{n}+C^{2}_{n}+…+C^{n}_{n}}$
Vì:$\begin{cases}1^{2}+2^{2}+…+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ C^{1}_{n}+C^{2}_{n}+…+C^{n}_{n}=2^{n}-1\end{cases}$
$\Rightarrow $ vế trái BĐT $\leq \sqrt{\frac{(2^{n}-1)n(n+1)(2n+1)}{6}}$
Để chứng minh BĐT đã cho,ta sẽ chứng minh:
$2^{n-1}.n^{3}>\frac{(2^{n}-1)n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\Leftrightarrow 3.2^{n}.n^{2}>(n+1)(2n+1)(2^{n}-1) (1)$
Thật vậy:
Vì: $n>3 \Rightarrow n^{2}>3n$
 $\Rightarrow n^{2}\geq 3n+1$ (vì $n\in Z$)
 $\Rightarrow 3n^{2}\geq 2n^{2}+3n+1 = (n+1)(2n+1)$
 $\Rightarrow 3.2^{n}.n^{2}\geq 2^{n}(n+1)(2n+1)>(n+1)(2n+1)(2^{n}-1)$
 $\Rightarrow 3.2^{n}.n^{2}>(n+1)(2n+1)(2^{n}-1)$
$\Rightarrow $ đúng.
$\Rightarrow$ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác