Đề bài: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. chứng minh rằng: $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$ Lời giải Đề bài: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. chứng minh rằng: $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: $\displaystyle\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3(1+b)(1+c)}{(1+b)(1+c).64}}=\frac{3a}{4}$. Tương tự : $\displaystyle\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+c}{8} \geq \frac{3b}{4}$, […]
Bất đẳng thức - Bài tập tự luận
Đề bài: Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh $\triangle ABC$.Chứng minh rằng:$a) \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c} \geq 3$$b) \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \sqrt{\frac{3}{2Rr}}$(Với $R,r$ là bán kính đường tròn ngoại,nội tiếp $\triangle ABC$ tương ứng)
Đề bài: Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh $\triangle ABC$.Chứng minh rằng:$a) \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c} \geq 3$$b) \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \sqrt{\frac{3}{2Rr}}$(Với $R,r$ là bán kính đường tròn ngoại,nội tiếp $\triangle ABC$ tương ứng) Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh $\triangle ABC$.Chứng minh rằng:$a) \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c} \geq 3$$b) \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \sqrt{\frac{3}{2Rr}}$(Với $R,r$ là bán kính đường tròn ngoại,nội […]
Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c$ ta luôn có bất đẳng thức: \(\frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{abc}}\)
Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c$ ta luôn có bất đẳng thức: \(\frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{abc}}\) Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c$ ta luôn có […]
Đề bài: Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Đề bài: Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\). Lời giải Đề bài: Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\). Lời giải Ta có: \(x^{2}+y^{2}\geq 2xy \forall x,y \Rightarrow xy\leq 1\)Theo Bunhiacopski, ta có:\(x+y\leq \sqrt{2(x^{2}+y^{2})} \Rightarrow x+y\leq 2\)Vậy \((x+y)xy\leq 2 \Rightarrow (x+y)xy\) lớn nhất là \(2\) khi \(x=y=1\). ========= […]
Đề bài: Chứng minh các bất đẳng thức:a) $(a+b)^4 \leq 8(a^4+b^4) $ b) $a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2) > 6abc.$
Đề bài: Chứng minh các bất đẳng thức:a) $(a+b)^4 \leq 8(a^4+b^4) $ b) $a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2) > 6abc.$ Lời giải Đề bài: Chứng minh các bất đẳng thức:a) $(a+b)^4 \leq 8(a^4+b^4) $ b) $a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2) > 6abc.$ Lời giải a) Xét $(a+b)^2=(1.a+1.b)^2$Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, (xem bài 107277 )ta có:$(a+b)^2=(1.a+1.b)^2 \leq (1^2+1^2)(a^2+b^2) \Rightarrow (a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)$Ta lại có: […]
Đề bài: Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)\leq \frac{4}{3}$.Chứng minh rằng $a+b+c\leq 4$
Đề bài: Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)\leq \frac{4}{3}$.Chứng minh rằng $a+b+c\leq 4$ Lời giải Đề bài: Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)\leq \frac{4}{3}$.Chứng minh rằng $a+b+c\leq 4$ Lời giải Ta có biến đổi $ \displaystyle \frac{4}{3}\geq a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)=a^2+b^2+c^2-(a+b+c)$ $ \displaystyle =\frac{1}{3}(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2-(a+b+c)$ $\Leftrightarrow (a+b+c)^2-3(a+b+c)-4\leq 0\Leftrightarrow -1\leq a+b+c\leq 4$, đpcm.Dấu $”=”$ xảy ra khi […]
Đề bài: Cho $x,y \geq 0$ và $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : $P=3^{2x}+3^y$.
Đề bài: Cho $x,y \geq 0$ và $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : $P=3^{2x}+3^y$. Lời giải Đề bài: Cho $x,y \geq 0$ và $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : $P=3^{2x}+3^y$. Lời giải Ta có: $y=1-x$, từ đó $P=3^{2x} +3^{1-x}=3^{2x}+\frac{1}{3^x}$ […]
Đề bài: Cho $\begin{cases}0
Đề bài: Cho $\begin{cases}0 Lời giải Đề bài: Cho $\begin{cases}0 Lời giải $f(x)=x^{2}-(a+c)x+ac=0$ có $2$ nghiệm $a,c$Mà: $a \leq b\leq c \Rightarrow f(b) \leq 0$$\Leftrightarrow b^{2}-(a+c)b+ac\leq 0$$\Leftrightarrow b+\frac{ac}{b} \leq a+c$$\Leftrightarrow yb+ac\frac{y}{b} \leq (a+c)y$$\Rightarrow (xa+ac\frac{x}{a})+(yb+ac\frac{y}{b})+(zc+ac\frac{z}{c})\leq (a+c)x+(a+c)y+(a+c)z$$\Rightarrow xa+yb+zc+ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\leq (a+c)(x+y+z)$Theo BĐT Cauchy:$ xa+yb+zc+ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\geq 2\sqrt {(xa+yb+zc+ac)ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})} $$\Rightarrow 2\sqrt {(xa+yb+zc+ac)ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})}\leq (a+c)(x+y+z) $$\Leftrightarrow 4(xa+yb+zc+ac)ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\leq (a+c)^{2}(x+y+z)^{2}$$\Leftrightarrow (xa+yb+zc+ac)(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\leq \frac{(a+c)^{2}}{4ac}(x+y+z)^{2} $$\Rightarrow $ (ĐPCM) ========= Chuyên […]
Đề bài: Cho $\begin{cases}0
Đề bài: Cho $\begin{cases}0 Lời giải Đề bài: Cho $\begin{cases}0 Lời giải $f(x)=x^{2}-(a+c)x+ac=0$ có $2$ nghiệm $a,c$Mà: $a \leq b\leq c \Rightarrow f(b) \leq 0$$\Leftrightarrow b^{2}-(a+c)b+ac\leq 0$$\Leftrightarrow b+\frac{ac}{b} \leq a+c$$\Leftrightarrow yb+ac\frac{y}{b} \leq (a+c)y$$\Rightarrow (xa+ac\frac{x}{a})+(yb+ac\frac{y}{b})+(zc+ac\frac{z}{c})\leq (a+c)x+(a+c)y+(a+c)z$$\Rightarrow xa+yb+zc+ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\leq (a+c)(x+y+z)$Theo BĐT Cauchy:$ xa+yb+zc+ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\geq 2\sqrt {(xa+yb+zc+ac)ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})} $$\Rightarrow 2\sqrt {(xa+yb+zc+ac)ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})}\leq (a+c)(x+y+z) $$\Leftrightarrow 4(xa+yb+zc+ac)ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\leq (a+c)^{2}(x+y+z)^{2}$$\Leftrightarrow (xa+yb+zc+ac)(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\leq \frac{(a+c)^{2}}{4ac}(x+y+z)^{2} $$\Rightarrow $ (ĐPCM) ========= Chuyên […]
Đề bài: Cho $ x_1,x_2, … , x_{2008} \in [\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}]$. Tìm giá trị lớn nhất của: $y=(\sin x_1+\sin x_2+ … +\sin x_{2008}).\left ( \frac{1}{\sin x_1} + \frac{1}{\sin x_2}+…+ \frac{1}{\sin x_{2008}}\right )$
Đề bài: Cho $ x_1,x_2, … , x_{2008} \in [\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}]$. Tìm giá trị lớn nhất của: $y=(\sin x_1+\sin x_2+ … +\sin x_{2008}).\left ( \frac{1}{\sin x_1} + \frac{1}{\sin x_2}+…+ \frac{1}{\sin x_{2008}}\right )$ Lời giải Đề bài: Cho $ x_1,x_2, … , x_{2008} \in [\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}]$. Tìm giá trị lớn nhất của: $y=(\sin x_1+\sin x_2+ … +\sin x_{2008}).\left ( \frac{1}{\sin […]