Đề bài: Với $a,b,c>0$ và $a+b+c\leq 1$ chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\geq 9$. Lời giải Đề bài: Với $a,b,c>0$ và $a+b+c\leq 1$ chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\geq 9$. Lời giải Nhận xét rằng: $(a^2+2bc)+(b^2+2ac)+(c^2+2ab)=(a+b+c)^2\leq 1$Từ đó suy ra: $ \displaystyle VT\geq [(a^2+2bc)+(b^2+2ac)+(c^2+2ab)](\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab})$ $ \displaystyle \geq 3\sqrt[3]{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}.3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2+2bc}.\frac{1}{b^2+2ac}.\frac{1}{c^2+2ab}} =9$Đẳng thức xảy ra khi : $ \displaystyle \begin{cases}a+b+c=1 \\ a^2+2bc=b^2+2ac=c^2+2ab \end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$. ========= […]
Bất đẳng thức - Bài tập tự luận
Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của:$y=\sin^{2} x.\cos ^{6}x$
Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của:$y=\sin^{2} x.\cos ^{6}x$ Lời giải Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của:$y=\sin^{2} x.\cos ^{6}x$ Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy:$1=\sin^{2} x+\frac{\cos^{2}x}{3}+\frac{\cos^{2}x}{3}+\frac{\cos^{2}x}{3}\geq 4\sqrt[4]{\frac{\sin^{2} x.\cos ^{6}x}{27}}$$\Rightarrow y=\sin^{2} x.\cos ^{6}x \leq \frac{27}{256}$Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sin^{2} x=\frac{\cos^{2}x}{3}$$\Leftrightarrow \tan x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+k\pi,k \in Z$Vậy $Max(y)= \frac{27}{256}$ ========= Chuyên mục: […]
Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $x, y$ dương ta có: \({x^2} + {y^2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\)
Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $x, y$ dương ta có: \({x^2} + {y^2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\) Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $x, y$ dương ta có: \({x^2} + {y^2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\left( {\sqrt x + \sqrt […]
Đề bài: Cho $\begin{cases}x,y,z \in [0;1] \\ x+y+z=\frac{3}{2} \end{cases}$Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f(x,y,z)=\cos^2 (x^2+y^2+z^2)$
Đề bài: Cho $\begin{cases}x,y,z \in [0;1] \\ x+y+z=\frac{3}{2} \end{cases}$Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f(x,y,z)=\cos^2 (x^2+y^2+z^2)$ Lời giải Đề bài: Cho $\begin{cases}x,y,z \in [0;1] \\ x+y+z=\frac{3}{2} \end{cases}$Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f(x,y,z)=\cos^2 (x^2+y^2+z^2)$ Lời giải + Tìm GTLN:* Theo BĐT Bunhiacopski: $x^2+y^2+z^2 \geq \frac{1}{3}(x+y+z)^2=\frac{3}{4}$* Hơn nữa: $x^2+y^2+z^2 […]
Đề bài: Cho $a,b,c,p,q$ là năm số dương tùy ý. Chứng minh: $\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\geq \frac{3}{p+q} (1)$
Đề bài: Cho $a,b,c,p,q$ là năm số dương tùy ý. Chứng minh: $\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\geq \frac{3}{p+q} (1)$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c,p,q$ là năm số dương tùy ý. Chứng minh: $\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\geq \frac{3}{p+q} (1)$ Lời giải Để ý rằng : $ \displaystyle a=\sqrt{\frac{a}{pb+qc}}.\sqrt{a(pb+qc)}, b =\sqrt{\frac{b}{pc+qa}}.\sqrt{b(pc+qa)},c=\sqrt{\frac{c}{pa+qb}}.\sqrt{c(pa+qb)}$.Gọi $S$ là vế trái của bất đẳng thức $(1)$ ta có: $ […]
Đề bài: Cho các số $a_1,a_2,b_1,b_2$. Chứng minh rằng: $\sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2}} \right)}^2}} \le \sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} + \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} $
Đề bài: Cho các số $a_1,a_2,b_1,b_2$. Chứng minh rằng: $\sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2}} \right)}^2}} \le \sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} + \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} $ Lời giải Đề bài: Cho các số $a_1,a_2,b_1,b_2$. Chứng minh rằng: $\sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2}} \right)}^2}} […]
Đề bài: Cho $\triangle ABC$ có $3$ góc nhọn.Chứng minh rằng:$\tan A+\tan B+\tan C \geq 3 \sqrt {3}$
Đề bài: Cho $\triangle ABC$ có $3$ góc nhọn.Chứng minh rằng:$\tan A+\tan B+\tan C \geq 3 \sqrt {3}$ Lời giải Đề bài: Cho $\triangle ABC$ có $3$ góc nhọn.Chứng minh rằng:$\tan A+\tan B+\tan C \geq 3 \sqrt {3}$ Lời giải Xét $f(x)=\tan x,x \in (0,\frac{\pi}{2})$$f'(x)=\frac{1}{\cos^{2}x}$$f”(x)=\frac{2\sin x}{\cos^{3}x} >0$$\Rightarrow f$ là hàm số lõm trên $(0,\frac{\pi}{2})$Theo BĐT […]
Đề bài: Giả sử $x, y$ là các số thay đổi thỏa mãn: $x > 0, y > 0, x + y = 1.$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{x}{\sqrt {1 – x} } + \frac{y}{\sqrt {1 – y} }$
Đề bài: Giả sử $x, y$ là các số thay đổi thỏa mãn: $x > 0, y > 0, x + y = 1.$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{x}{\sqrt {1 – x} } + \frac{y}{\sqrt {1 – y} }$ Lời giải Đề bài: Giả sử $x, y$ là các […]
Đề bài: Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\)
Đề bài: Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\) Lời giải Đề bài: Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n – […]
Đề bài: Cho $x,y,z$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}x^2+y^2+z^2=8 (1) \\ xy+yz+zx=4 (2) \end{cases}$Chứng minh $-\frac{8}{3} \leq x;y;z \leq \frac{8}{3}$
Đề bài: Cho $x,y,z$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}x^2+y^2+z^2=8 (1) \\ xy+yz+zx=4 (2) \end{cases}$Chứng minh $-\frac{8}{3} \leq x;y;z \leq \frac{8}{3}$ Lời giải Đề bài: Cho $x,y,z$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}x^2+y^2+z^2=8 (1) \\ xy+yz+zx=4 (2) […]