Bất đẳng thức - Bài tập tự luận

Đề bài: Chứng minh rằng ta luôn luôn có:   $ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca $ với mọi số thực $a, b, c$. Lời giải Giả sử tồn tại 3 số thực a, b, c sao cho ta có: $ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2}  \Leftrightarrow 2({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge 2ab + 2bc + 2ca\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca  \Leftrightarrow {\left( {a - b} … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng ta luôn luôn có:   $ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca $ với mọi số thực $a, b, c$.

Đề bài: Chứng minh rằng  $ \frac{a^6 + b^9}{4} \ge 3a^2b^3 - 16;     b \ge 0 $ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm  $ {\left( {{a^2}} \right)^3},{\left( {{b^3}} \right)^3},{4^3} $  ta có : $ \begin{array}{l}\frac{{{{\left( {{a^2}} \right)}^3} + {{\left( {{b^3}} \right)}^3} + {4^3}}}{3} \ge \sqrt[3]{{{{\left( {{a^2}} \right)}^3}.{{\left( … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng  $ \frac{a^6 + b^9}{4} \ge 3a^2b^3 – 16;     b \ge 0 $

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ ta có:  $|a\pm b|\geq |a|-|b|$ Lời giải Ta có:  $|a|=|(a\pm b) \mp b|\leq |a \pm b|+|b|\Rightarrow |a|-|b|\leq |a \pm b|$(đpcm) ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ ta có:  $|a\pm b|\geq |a|-|b|$

Đề bài: Chứng minh rằng: Nếu $0 … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: Nếu $0

Đề bài:  Biết rằng:  $3x^2+4xy+3y^2=14.$ Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x^2+y^2 \leq 14$ Lời giải Đặt $Q=x^2+y^2$$\bullet$ Để ý: $14-Q=2(x+y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow Q \leq 14$.Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi:$\left\{ \begin{array}{l} x+y=0\\ 3x^2+4xy+3y^2=14 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-y\\ x^2=7 \end{array} \right. … [Đọc thêm...] vềĐề bài:  Biết rằng:  $3x^2+4xy+3y^2=14.$ Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x^2+y^2 \leq 14$

Đề bài:  Giả sử $x,y$ liên hệ với nhau bởi hệ thức $3x^2+4xy+3y^2=14$. Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x,y \leq 14$ Lời giải Từ giả thiết bài toán suy ra $x,y$ không đồng thời bằng $0$. Gọi $Q(x,y)=x^2+y^2$Trường hợp $1: x=0$ hoặc $y=0$ dễ dàng suy ra $Q=\frac{14}{3}                          (1)$Trường hợp $2: xy \neq 0$, đặt $y=x.t, t \in R$ ta … [Đọc thêm...] vềĐề bài:  Giả sử $x,y$ liên hệ với nhau bởi hệ thức $3x^2+4xy+3y^2=14$. Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x,y \leq 14$

Đề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$ không âm ta luôn có:  $xyz \geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)       (1)$ Lời giải                                      Giải Để ý: Với $x,y,z$ không âm thì trong ba số $a=(y+z-x), b=(x+z-y), c=(x+y-z)$ không thể có quá một số âmGiả sử có hai số âm, do tính bình đẳng của $x,y,z$ giả sử $\begin{cases}x+y-zCộng vế theo vế ta có: $2x+ Nếu … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$ không âm ta luôn có:  $xyz \geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)       (1)$

Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \(a^{3}+b^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}\)  (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow (a^{3}+b^{3})-(a^{2}b+ab^{2})\geq 0 \\\Leftrightarrow (a^{3}-a^{2}b)-(ab^{2}-b^{3})\geq 0\)      \(\Leftrightarrow a^{2}(a-b)-b^{2}(a-b)\geq 0 \\\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2})(a-b)\geq 0\)      \(\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0\) đúng Vậy ta … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \(a^{3}+b^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}\)  (1)

Đề bài: Chứng minh: \((a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \forall a,b,c\in R\). Lời giải Ta có: \((a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\)\(\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\)\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\)\(\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}-2ab)+(b^{2}+c^{2}-2bc)+(c^{2}+a^{2}-2ac)\geq 0\)\(\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh: \((a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \forall a,b,c\in R\).

Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \((a^{3}+b^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq (a+b)^{2}\). Lời giải Ta có: \((a^{3}+b^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq (a+b)^{2}\)\(\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{a}+\frac{b^{3}}{a}+\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{b}\geq a^{2}+2ab+b^{2}\)\(\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \((a^{3}+b^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq (a+b)^{2}\).