Đề bài: Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\begin{cases}x+y+z=5 \\ xy+yz+zx=8 \end{cases}$ Chứng minh rằng : $1 \leq x,y,z \leq \frac{7}{3}$

Lời giải

Đề bài:
Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\begin{cases}x+y+z=5 \\ xy+yz+zx=8 \end{cases}$ Chứng minh rằng : $1 \leq x,y,z \leq \frac{7}{3}$
Lời giải

Ta có: $\begin{cases}y+z=5-x \\ yz=8-x(y+z)=8-x(5-x)=x^{2}-5x+8  \end{cases}$
Do đó $y$ và $z$ là 2 nghiệm của phương trình:
$X^{2}-(5-x)X+(x^{2}-5x+8)=0 $
$\Rightarrow \Delta=(5-x)^{2}-4(x^{2}-5x+8)=-3 x^{2}+10x-7  \geq 0  $
$\Rightarrow 3 x^{2}-10x+7 \leq 0 \Rightarrow 1 \leq x \leq \frac{7}{3}  $
Chứng minh tương tự ta có: $ 1 \leq y,z \leq \frac{7}{3} $

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác