Bất đẳng thức - Bài tập tự luận

Đề bài: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xy+yz+zx=15$Tìm các giá trị nhỏ nhất của $Q=x^4+y^4+z^4$ Lời giải Đề bài: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xy+yz+zx=15$Tìm các giá trị nhỏ nhất của $Q=x^4+y^4+z^4$ Lời giải Theo Cô-si:  $x^4+y^4+25+25 \geq 4\sqrt[4]{x^4y^425.25}=4.5|xy| \geq 20xy$$\Leftrightarrow  x^4+y^4+50 \geq 20 xy              (1)$Dấu đẳng thức có […]

Đề bài: Cho \(2\) số dương \(a\) và \(b\). Chứng minh rằng:  \((a+b)(ab+1)\geq 4ab\) Lời giải Đề bài: Cho \(2\) số dương \(a\) và \(b\). Chứng minh rằng:  \((a+b)(ab+1)\geq 4ab\) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho \(2\) số dương \(a,b\) và \(ab,1\). Ta có:\(a+b\geq 2\sqrt{ab}\)\(ab+1\geq 2\sqrt{ab}\)Vậy: \((a+b)(ab+1)\geq 4ab\) ========= Chuyên mục: Bất […]

Đề bài: Cho $A(1;0;0), B(1;1;0), C(0;1;0), D(0;0;m)$ với $m$ là tham số khác )a) Tính khoảng cách giữa $AC$ và $BD$ khi $m=2$b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $BD$. Tìm các giá trị của tham số $m$ để diện tích $\Delta OBH$ đạt giá trị lớn nhất Lời giải Đề […]

Đề bài: Chứng minh rằng nếu m,n,p nguyên dương thì :$m^{\frac{m}{m+n+p}}.n^{\frac{n}{m+n+p}}.p^{\frac{p}{m+n+p}}\geq \frac{1}{3}(m+n+p)$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng nếu m,n,p nguyên dương thì :$m^{\frac{m}{m+n+p}}.n^{\frac{n}{m+n+p}}.p^{\frac{p}{m+n+p}}\geq \frac{1}{3}(m+n+p)$ Lời giải Ta xét bộ số:$m$ số $\frac{1}{m}$, $n$ số $\frac{1}{n}$, $p$ số $\frac{1}{p}$Trung bình cộng của chúng bằng: $\frac{m.\frac{1}{m}+n.\frac{1}{n}+p.\frac{1}{p}}{m+n+p}=\frac{3}{m+n+p}$;Trung bình nhân của chúng bằng : $\sqrt[m+n+p]{\frac{1}{m^m}.\frac{1}{n^n}.\frac{1}{p^p}}$Vậy theo bất […]

Đề bài: Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:      $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$. Lời giải Đề bài: Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:      $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$. Lời giải Cách $1$:Đặt $x=b+c, y=a+c, z=a+b;    x,y,z>0$Suy ra:   $ \displaystyle a=\frac{y+z-x}{2}, b=\frac{z+x-y}{2}, c=\frac{x+y-z}{2}$Khi đó, $VT$ của bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:    $ \displaystyle VT=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}= \frac{1}{2}(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3) $                                     $ […]

Đề bài: Cho $a,b,c>0$.Hãy chứng minh:$a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c>0$.Hãy chứng minh:$a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}$ Lời giải Ta có:$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$$=(a+b)[ab+(a-b)^{2}] \geq (a+b)ab (1)$Tương tự ta có:    $b^{3}+c^{3} \geq (b+c)bc                         (2)$    $c^{3}+a^{3} \geq (c+a)ca                         (3)$Cộng $(1),(2),(3)$ vế với vế,ta được:$2(a^{3}+b^{3}+c^{3} )\geq  (a+b)ab + (b+c)bc +(c+a)ca$$=a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$$\geq a^{2}2\sqrt{bc}+b^{2}2\sqrt{ca}+c^{2}2\sqrt{ab}$  (BĐT Cauchy)Vậy: $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq a^{2}\sqrt{bc}+b^{2}\sqrt{ca}+c^{2}\sqrt{ab}$Dấu “=” xảy […]

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thức không âm $a,b$ ta luôn có:    $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thức không âm $a,b$ ta luôn có:    $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức về dạng:$(\frac{a+b}{2})^2\geq ab\Leftrightarrow (a+b)^2\geq 4ab\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$, luôn đúng.Dấu $”=”$ […]