Đề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\) (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^{2}}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{1}{1+ab}\geq 0\)\(\Leftrightarrow \frac{ab-a^{2}}{(1+a^{2})(1+ab)}+\frac{ab-b^{2}}{(1+b^{2})(1+ab)}\geq 0\)\(\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\) (1)
Bất đẳng thức - Bài tập tự luận
Đề bài: Cho $a+b=2$.Hãy chứng minh:$1/ a^{2}+ b^{2} \geq 2$ $2/ a^{4}+ b^{4} \geq 2$
Đề bài: Cho $a+b=2$.Hãy chứng minh:$1/ a^{2}+ b^{2} \geq 2$ $2/ a^{4}+ b^{4} \geq 2$ Lời giải Đặt: $\begin{cases}a=1+x \\ b=1+y \end{cases}\Rightarrow x+y=0$$1/$Lúc đó: $a^{2}+ b^{2} = \left ( 1+x \right )^{2}+ \left ( 1+y \right )^{2} $ $=1+2x+ x^{2}+ 1+2y+ y^{2} =2+2 \left ( x+y \right )+ x^{2}+ y^{2} $ … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a+b=2$.Hãy chứng minh:$1/ a^{2}+ b^{2} \geq 2$ $2/ a^{4}+ b^{4} \geq 2$
Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ và $xyz=1$.Chứng minh $\frac{x^2}{x+y+y^3z}+\frac{y^2}{y+z+z^3x}+\frac{z^2}{z+x+x^3y}\geq 1$.
Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ và $xyz=1$.Chứng minh $\frac{x^2}{x+y+y^3z}+\frac{y^2}{y+z+z^3x}+\frac{z^2}{z+x+x^3y}\geq 1$. Lời giải Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ và $xyz=1$.Chứng minh $\frac{x^2}{x+y+y^3z}+\frac{y^2}{y+z+z^3x}+\frac{z^2}{z+x+x^3y}\geq 1$. Lời giải Cần lời giải chi … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ và $xyz=1$.Chứng minh $\frac{x^2}{x+y+y^3z}+\frac{y^2}{y+z+z^3x}+\frac{z^2}{z+x+x^3y}\geq 1$.
Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)
Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\) Lời giải Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\) Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)
Đề bài: Cho $x, y, z>0, x+y+x=\pi$. Chứng minh: $\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}\sin\frac{z}{2}\leq\frac{1}{8}$
Đề bài: Cho $x, y, z>0, x+y+x=\pi$. Chứng minh: $\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}\sin\frac{z}{2}\leq\frac{1}{8}$ Lời giải Đề bài: Cho $x, y, z>0, x+y+x=\pi$. Chứng minh: $\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}\sin\frac{z}{2}\leq\frac{1}{8}$ Lời giải GiảiTừ … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $x, y, z>0, x+y+x=\pi$. Chứng minh: $\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}\sin\frac{z}{2}\leq\frac{1}{8}$
Đề bài: Cho $a, b$ dương. chứng minh :a) $(a+b)(1+ab)\geq 4ab$ b)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} $
Đề bài: Cho $a, b$ dương. chứng minh :a) $(a+b)(1+ab)\geq 4ab$ b)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} $ Lời giải Đề bài: Cho $a, b$ dương. chứng minh :a) $(a+b)(1+ab)\geq 4ab$ b)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} $ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a, b$ dương. chứng minh :a) $(a+b)(1+ab)\geq 4ab$ b)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} $
Đề bài: Cho $a,b>0, m\in N^*$. Chứng minh rằng: $(1+\frac{a}{b})^m+(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^{m+1}$
Đề bài: Cho $a,b>0, m\in N^*$. Chứng minh rằng: $(1+\frac{a}{b})^m+(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^{m+1}$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b>0, m\in N^*$. Chứng minh rằng: $(1+\frac{a}{b})^m+(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^{m+1}$ Lời giải Ta có: $ \displaystyle 1+\frac{a}{b}\geq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a,b>0, m\in N^*$. Chứng minh rằng: $(1+\frac{a}{b})^m+(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^{m+1}$
Đề bài: Cho $a_{i},b_{i},c_{i}>0(i=1,2,3…,n)$$A=\sum\limits_{i=1}^n a_{i}, B=\sum\limits_{i=1}^n b_{i},C=\sum\limits_{i=1}^n c_{i}$Chứng minh rằng:$ Min(a_{1}b_{1}c_{1},a_{2}b_{2}c_{2},…,a_{n}b_{n}c_{n})\leq \frac{ABC}{n^{3}}$
Đề bài: Cho $a_{i},b_{i},c_{i}>0(i=1,2,3...,n)$$A=\sum\limits_{i=1}^n a_{i}, B=\sum\limits_{i=1}^n b_{i},C=\sum\limits_{i=1}^n c_{i}$Chứng minh rằng:$ Min(a_{1}b_{1}c_{1},a_{2}b_{2}c_{2},...,a_{n}b_{n}c_{n})\leq \frac{ABC}{n^{3}}$ Lời giải Đề bài: Cho $a_{i},b_{i},c_{i}>0(i=1,2,3...,n)$$A=\sum\limits_{i=1}^n a_{i}, B=\sum\limits_{i=1}^n … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a_{i},b_{i},c_{i}>0(i=1,2,3…,n)$$A=\sum\limits_{i=1}^n a_{i}, B=\sum\limits_{i=1}^n b_{i},C=\sum\limits_{i=1}^n c_{i}$Chứng minh rằng:$ Min(a_{1}b_{1}c_{1},a_{2}b_{2}c_{2},…,a_{n}b_{n}c_{n})\leq \frac{ABC}{n^{3}}$
Đề bài: Cho $2$ số dương $a,b$ thỏa mãn: $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1$ với $a,y>0$.Tìm $x,y$ để:$S=x+y$ nhỏ nhất ( tính theo $a,b$)
Đề bài: Cho $2$ số dương $a,b$ thỏa mãn: $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1$ với $a,y>0$.Tìm $x,y$ để:$S=x+y$ nhỏ nhất ( tính theo $a,b$) Lời giải Đề bài: Cho $2$ số dương $a,b$ thỏa mãn: $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1$ với $a,y>0$.Tìm $x,y$ để:$S=x+y$ nhỏ nhất ( tính theo $a,b$) Lời giải Ta có: … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $2$ số dương $a,b$ thỏa mãn: $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1$ với $a,y>0$.Tìm $x,y$ để:$S=x+y$ nhỏ nhất ( tính theo $a,b$)
Đề bài: Chứng minh rằng : $\int\limits_{0}^{\pi}e ^{\sin^2x}dx > \frac{3\pi}{2}$
Đề bài: Chứng minh rằng : $\int\limits_{0}^{\pi}e ^{\sin^2x}dx > \frac{3\pi}{2}$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng : $\int\limits_{0}^{\pi}e ^{\sin^2x}dx > \frac{3\pi}{2}$ Lời giải * Đặt $ t = \pi - x \Rightarrow dt = -dx $Khi đó : $ \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{\pi } e^{\sin ^2x}dx = … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng : $\int\limits_{0}^{\pi}e ^{\sin^2x}dx > \frac{3\pi}{2}$