Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a) $|x-1|+|5-x| \geq  4                                              b)|x-1|-|x+6| \leq  7 $c)$|x-y|+|y-z|+|z-t|\geq  |x-t|                                            d) |x+5|+|x-2|+|x-3|\geq  8$ Lời giải hướng dẫn: dùng bất đẳng thức giá trị tuyệt đốiThêm lời giải chi tiết ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a) $|x-1|+|5-x| \geq  4                                              b)|x-1|-|x+6| \leq  7 $c)$|x-y|+|y-z|+|z-t|\geq  |x-t|                                            d) |x+5|+|x-2|+|x-3|\geq  8$

Đề bài: Cho \(x,y \) dương . Chứng minh: \(\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}\) Lời giải BĐT \(\Leftrightarrow \left ( 1+xy \right )[\left (1+ x \right )^{2} +\left (1+ y \right )^{2}]\geq \left (1+ x \right )^{2} \left (1+ y \right )^{2} \)\(\Leftrightarrow \left ( 1+xy \right )[2\left ( 1+x+y \right )+x^{2}+y^{2}]\geq [\left ( 1+x+y … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(x,y \) dương . Chứng minh: \(\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}\)

Đề bài: Cho $a \le 6,b \le  - 8,c \le 3$. Chứng minh rằng với mọi $x \ge 1$ ta đều đó $x^4-ax^2-bx\geq c$ Lời giải Với $x \ge 1$ thì :${x^4} - {\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{  -  bx  -  c  }} \ge {\rm{ }}{{\rm{x}}^{{\rm{4 }}}} - 6{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + 8{\rm{x  -  3  =  (x  -  1}}{{\rm{)}}^{\rm{3}}}{\rm{ ( x  + 3) }} \ge {\rm{0}}$  (ĐPCM) ========= Chuyên … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a \le 6,b \le  – 8,c \le 3$. Chứng minh rằng với mọi $x \ge 1$ ta đều đó $x^4-ax^2-bx\geq c$

Đề bài: Chứng minh rằng nếu  $0  8si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x ( cosx  -  sinx)}}$$ \Leftrightarrow c{\rm{osx}}\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x +  si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x} \right) > 8{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x(c{\rm{osx  -  sinx)}}$$ \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{3}}}{\rm{x  +  8si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}x > … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng nếu  $08$

Đề bài: Cho $a \ge 1,b \ge 1$. Chứng minh $\sqrt {{{\log }_2}a}  + \sqrt {{{\log }_2}b}  \ge 2\sqrt {{{\log }_2}\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)} $ Lời giải $x \ge 0,y \ge 0 \Rightarrow 2\sqrt {xy}  \le x + y \Rightarrow {\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)^2} \le 2\left( {x + y} \right) $$\Rightarrow $$\sqrt x  + \sqrt y  \le \sqrt 2 .\sqrt {x + y} $. Khi đó … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a \ge 1,b \ge 1$. Chứng minh $\sqrt {{{\log }_2}a}  + \sqrt {{{\log }_2}b}  \ge 2\sqrt {{{\log }_2}\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)} $

Đề bài: Các số $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu lấy số $m$ sao cho $2m \ge|ad-bc|$, thì ta có với mọi $x$:  $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+ {m^2} \ge 0$ Lời giải Gọi $k > 0$ là cộng sai của cấp số cộng, ta có $b = a + k,c = a + 2k,d = a + 3k$ và điều kiện $2m \ge \left| {a{\rm{d  -  bc}}} \right| = \left| {a\left( {a + 3k} \right) - … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Các số $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu lấy số $m$ sao cho $2m \ge|ad-bc|$, thì ta có với mọi $x$:  $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+ {m^2} \ge 0$

Đề bài: Chứng minh rằng với 3 số dương $a,b,c$ bất kì, ta luôn có: $\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$ Lời giải Ta có:$\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge \frac{{2{\rm{a  -  b}}}}{{\rm{3}}}\Leftrightarrow 3a^3\ge a(a^2+ab+b^2)+a^3-b^3\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với 3 số dương $a,b,c$ bất kì, ta luôn có: $\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$

Đề bài: Giả sử $a,b,\alpha  > 0$Nếu $\frac{a}{b} < 1,$ chứng minh $\frac{a}{b} < \frac{{a + \alpha }}{{b + \alpha }}$         (1)Nếu $\frac{a}{b} > 1$, chứng minh $\frac{a}{b} > \frac{{a + \alpha }}{{b + \alpha }}$        (2) Lời giải ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Giả sử $a,b,\alpha  > 0$Nếu $\frac{a}{b} < 1,$ chứng minh $\frac{a}{b} < \frac{{a + \alpha }}{{b + \alpha }}$         (1)Nếu $\frac{a}{b} > 1$, chứng minh $\frac{a}{b} > \frac{{a + \alpha }}{{b + \alpha }}$        (2)

Đề bài: Chứng minh:a) nếu $x\geq y \geq  0 $ thì $\frac{x}{1+x}\geq\frac{y}{1+y}$b)$\frac{|a-b|}{1+|a-b|}\leq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} $ với mọi $a,b$ Lời giải a) Với $x \geq y \geq 0$ ta có:$\frac{x}{1+x} \geq \frac{y}{1+y} \Leftrightarrow  x(1+y)\geq y(1+x)\Leftrightarrow  x+xy \geq y+xy \Leftrightarrow x \geq y  $ ( đúng)b) Vì $|a-b|\leq |a|+|b|$ … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh:a) nếu $x\geq y \geq  0 $ thì $\frac{x}{1+x}\geq\frac{y}{1+y}$b)$\frac{|a-b|}{1+|a-b|}\leq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} $ với mọi $a,b$

Đề bài: $1$. Giải bất phương trình: ${3^{x + 1}} - {2^{2x + 1}} - {12^{\frac{x}{2}}} < 0$$2$. Cho $a, b, c$ là ba số thực bất kỳ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng: ${a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}$ Lời giải $1.{3^{x + 1}} - {2^{2x + 1}} - {12^{\frac{x}{2}}} $\Leftrightarrow 3-2(\frac{4}{3})^x-(\frac{\sqrt{12}}{3})^xĐặt … [Đọc thêm...] vềĐề bài: $1$. Giải bất phương trình: ${3^{x + 1}} – {2^{2x + 1}} – {12^{\frac{x}{2}}} < 0$$2$. Cho $a, b, c$ là ba số thực bất kỳ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng: ${a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}$