Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Chứng minh rằng  $ 200^{300} > 300^{200} $  Lời giải Ta có:$ \begin{array}{l}{200^{300}} = {({200^3})^{100}} = {8000000^{100}}\\{300^{200}} = {({300^2})^{100}} = {90000^{100}}\end{array} $  $  \Rightarrow  $  đpcm. ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b  \forall a,b,c\in R\). Lời giải Ta có: \(a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b \\\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}+2\geq 2ab+2a+2b\)\(\Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2}+a^{2}-2a+1+b^{2}-2b+1\geq 0\)\(\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(a-1)^{2}+(b-1)^{2}\geq 0\) đúng, \(\forall a,b,c\in R\). Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} a=b\\a=1\\b=1 \end{array} \right.\Rightarrow a=b=1.$ ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a) $|x-1|+|5-x| \geq  4                                              b)|x-1|-|x+6| \leq  7 $c)$|x-y|+|y-z|+|z-t|\geq  |x-t|                                            d) |x+5|+|x-2|+|x-3|\geq  8$ Lời giải hướng dẫn: dùng bất đẳng thức giá trị tuyệt đốiThêm lời giải chi tiết […]

Đề bài: Cho 2 số $a$ và $b$ thỏa điều kiện $ab > 1$. Chứng minh rằng: $ \frac{1}{1 + a^2 }+ \frac{1}{1 + b^2} \ge \frac{2}{1 + ab} $  Lời giải Ta có:   $ \begin{array}{l}\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} – \frac{2}{{1 + ab}} = \left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}} – \frac{1}{{1 + […]

Đề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\)  (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^{2}}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{1}{1+ab}\geq 0\)\(\Leftrightarrow \frac{ab-a^{2}}{(1+a^{2})(1+ab)}+\frac{ab-b^{2}}{(1+b^{2})(1+ab)}\geq 0\)\(\Leftrightarrow \frac{a(b-a)}{(1+a^{2})(1+ab)}+\frac{b(a-b)}{(1+b^{2})(1+ab)}\geq 0\)\(\Leftrightarrow \frac{(b-a)}{(1+ab)}\left ( \frac{a}{1+a^{2}}-\frac{b}{1+b^{2}} \right )\geq 0\)\(\Leftrightarrow \frac{(b-1)}{(1+ab)}\left ( \frac{a+ab^{2}-b-ba^{2}}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\right )\geq 0\)\(\Leftrightarrow \frac{(b-a)^{2}(ab-1)}{(1+ab)(1+a^{2})(1+b^{2})}\geq 0\) đúng Vì \(a\geq b\geq 1 \Rightarrow ab\geq 1 \Rightarrow ab-1\geq 0\).Dấu bằng xảy ra khi $\left[ \begin{array}{l} a=b\\ ab=1 […]

Đề bài: Cho $a+b+c\neq 0$,hãy chứng minh:$1/a^{3}+ b^{3} + c^{3} =3abc+\left (  a+b+c  \right )\left (  a^{2}+ b^{2} + c^{2} -ab-bc-ca \right )$ $2/\frac{ a^{3}+ b^{3} + c^{3} -3abc}{  a+b+c }\geq 0$  Lời giải $1/$Ta có:$a^{3}+  b^{3}= \left ( a+b \right )^{3}-3ab \left ( a+b \right )$$\Rightarrow  a^{3}+  b^{3} +  c^{3} -3abc= \left ( a+b \right )^{3} + c^{3}  -3ab \left ( a+b+c \right ) $ $= \left ( a+b+c \right ) [ \left ( a+b \right )^{2}-  \left ( […]

Đề bài: Cho $a$ và $b$ là 2 số dương. Chứng minh rằng: $ a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3 $ Lời giải Ta có: $ \begin{array}{l}\left( {{a^4} + {b^4}} \right) – \left( {{a^3}b + a{b^3}} \right) = {a^3}\left( {a – b} \right) – {b^3}\left( {a – b} \right) = \left( {a – b} […]

Đề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc\). Lời giải Ta có:\(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc \\\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab+ac-2bc\geq 0\)\(\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{2}-b+c \right )^{2}\geq 0\) (đúng)\(\Rightarrow \)đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{2}-b+c=0$. ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Cho $a+b=2$.Hãy chứng minh:$1/ a^{2}+ b^{2} \geq 2$   $2/ a^{4}+ b^{4} \geq 2$  Lời giải Đặt: $\begin{cases}a=1+x \\ b=1+y \end{cases}\Rightarrow x+y=0$$1/$Lúc đó: $a^{2}+ b^{2} = \left ( 1+x   \right )^{2}+  \left ( 1+y   \right )^{2}   $               $=1+2x+ x^{2}+ 1+2y+ y^{2}  =2+2 \left ( x+y   \right )+  x^{2}+  y^{2}  $                $=2+ x^{2}+  y^{2} \geq 2$ Vậy:  $a^{2}+ b^{2} \geq 2$ $2/$Ta có:   […]

Đề bài: Chứng minh rằng:  $ \frac{2x^2 – x + 1}{2x^2 + x + 1} > \frac{1}{3}  \forall x \in R $ Lời giải Đặt  $ y = \frac{{2{x^2} – x + 1}}{{2{x^2} + x + 1}}, $  xác định  $ \forall x \in R $ .$  \Leftrightarrow 2\left( {y – 1} \right){x^2} + \left( […]