Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \(a^{3}+b^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}\)  (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow (a^{3}+b^{3})-(a^{2}b+ab^{2})\geq 0 \\\Leftrightarrow (a^{3}-a^{2}b)-(ab^{2}-b^{3})\geq 0\)      \(\Leftrightarrow a^{2}(a-b)-b^{2}(a-b)\geq 0 \\\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2})(a-b)\geq 0\)      \(\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0\) đúng Vậy ta có đpcm.Dấu bằng xảy ra khi $a=b.$ ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Giả sử $a,b,\alpha  > 0$Nếu $\frac{a}{b} < 1,$ chứng minh $\frac{a}{b} < \frac{{a + \alpha }}{{b + \alpha }}$         (1)Nếu $\frac{a}{b} > 1$, chứng minh $\frac{a}{b} > \frac{{a + \alpha }}{{b + \alpha }}$        (2) Lời giải ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Chứng minh: \((a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \forall a,b,c\in R\). Lời giải Ta có: \((a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\)\(\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\)\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\)\(\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}-2ab)+(b^{2}+c^{2}-2bc)+(c^{2}+a^{2}-2ac)\geq 0\)\(\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0\) đúng $\forall a;b;c$.Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} a=b\\b=c\\c=a \end{array} \right.\Rightarrow a=b=c.$ ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Chứng minh:a) nếu $x\geq y \geq  0 $ thì $\frac{x}{1+x}\geq\frac{y}{1+y}$b)$\frac{|a-b|}{1+|a-b|}\leq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} $ với mọi $a,b$ Lời giải a) Với $x \geq y \geq 0$ ta có:$\frac{x}{1+x} \geq \frac{y}{1+y} \Leftrightarrow  x(1+y)\geq y(1+x)\Leftrightarrow  x+xy \geq y+xy \Leftrightarrow x \geq y  $ ( đúng)b) Vì $|a-b|\leq |a|+|b|$ nên theo câu a) ta có:$\frac{|a-b|}{1+|a-b|}\leq \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}=\frac{|a|}{1+|a|+|b|}+\frac{|b|}{1+|a|+|b|}\leq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} $ […]

Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \((a^{3}+b^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq (a+b)^{2}\). Lời giải Ta có: \((a^{3}+b^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq (a+b)^{2}\)\(\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{a}+\frac{b^{3}}{a}+\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{b}\geq a^{2}+2ab+b^{2}\)\(\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{a}+\frac{b^{3}}{a}+\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{b}-a^{2}-2ab-b^{2}\geq 0\)\(\Leftrightarrow \frac{b^{3}}{a}+\frac{a^{3}}{b}-2ab\geq 0\)(đúng) Vì \(\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a^{3}b^{3}}{ab}}=2ab\) (Cosi)\(\Rightarrow \)đpcm.Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a^3}{b}=\frac{b^3}{a}\Rightarrow a=\pm b$. ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: $1$. Giải bất phương trình: ${3^{x + 1}} – {2^{2x + 1}} – {12^{\frac{x}{2}}} < 0$$2$. Cho $a, b, c$ là ba số thực bất kỳ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng: ${a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}$ Lời giải $1.{3^{x + […]

Đề bài: Chứng tỏ rằng:   $ x^2 – 6x + 5 \ge – 4       \forall x $ Lời giải Ta có:   $ {x^2} – 6x + 5 = {\left( {x – 3} \right)^2} – 4 \ge  – 4,\forall x $ Dấu “=” xảy ra  $  \Leftrightarrow x = 3 $ ========= Chuyên mục: […]

Đề bài: Cho \(a>0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a}+\sqrt{a+2}<2\sqrt{a+1}\)   (1) Lời giải Ta có:  (1) \(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{a+2})^{2}\leq 4(a+1)\)\(\Leftrightarrow a+a+2+2\sqrt{a(a+2)}\leq 4(a+1)\)\(\Leftrightarrow 2\sqrt{a(a+2)}\leq 2(a+1) \\\Leftrightarrow \sqrt{a(a+2)}\leq a+1\)\(\Leftrightarrow a(a+2)\leq (a+1)^{2} \\\Leftrightarrow 2a+a^{2}\leq a^{2}+2a+1\)\(\Leftrightarrow 0\leq 1\) đúng\(\Rightarrow \)đpcm.Dấu bằng không xảy ra. ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Chứng minh bất đẳng thứca) $a>b>0 \Rightarrow  a^{2}> b^{2}                                  b)a>b\geq  0 \Rightarrow  \sqrt{a} > \sqrt{b}$c) $b,d >0; \frac{a}{b}< \frac{c}{d} \Rightarrow  \frac{a}{b}n \Rightarrow  \sqrt[3]{m}> \sqrt[3]{n}  $ Lời giải HD: dùng định nghĩaThêm lời giải chi tiết ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Chứng minh rằng  $ 200^{300} > 300^{200} $  Lời giải Ta có:$ \begin{array}{l}{200^{300}} = {({200^3})^{100}} = {8000000^{100}}\\{300^{200}} = {({300^2})^{100}} = {90000^{100}}\end{array} $  $  \Rightarrow  $  đpcm. ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản