Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Chứng minh rằng:  $ \frac{2x^2 - x + 1}{2x^2 + x + 1} > \frac{1}{3}  \forall x \in R $ Lời giải Đặt  $ y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{2{x^2} + x + 1}}, $  xác định  $ \forall x \in R $ .$  \Leftrightarrow 2\left( {y - 1} \right){x^2} + \left( {y + 1} \right)x + y - 1 = 0 $         (1)Nếu y = 1:$ \left( 1 \right) \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 $ Giá … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng:  $ \frac{2x^2 – x + 1}{2x^2 + x + 1} > \frac{1}{3}  \forall x \in R $

Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+2\geq ab+2(a+b)\). Lời giải Ta có: \(a^{2}+b^{2}+4\geq ab+2(a+b)\)\(\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}+4\geq 2ab+4a+4b\)$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-4a+4)+(b^2-4b+4)\ge 0$\(\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(a-2)^{2}+(b-2)^{2}\geq 0\) (đúng) \(\Rightarrow \) đpcm.Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} a=b\\ a=2\\b=2 … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+2\geq ab+2(a+b)\).

Đề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$:a) $|x+y+z|\leq|x|+|y|+|z|                     b)|x-z|\leq |x-y|+|y-z|$ Lời giải a) $|x+y+z|\leq |x+(y+z)|\leq |x|+|y+z|\leq |x|+|y|+|z|$b) $|x-z|=|(x-y)+(y-z)|\leq |x-y|+|y-z|$ ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$:a) $|x+y+z|\leq|x|+|y|+|z|                     b)|x-z|\leq |x-y|+|y-z|$

Đề bài: Cho $3$ số dương $a, b, c$ thỏa $abc = 1$. Chứng minh rằng:  $ a + b + c \ge 3 $ bằng phương pháp phản chứng. Lời giải Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thỏa điều kiện  $ abc = 1 $  mà  $ a + b + c Ta có:  $ a + b + c Thay  $ abc = 1, $  ta có:  $ \begin{array}{l}{a^2}b + a{b^2} + 1  \Leftrightarrow a{b^2} + \left( {{a^2} - 3a} \right)b \end{array} $ … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $3$ số dương $a, b, c$ thỏa $abc = 1$. Chứng minh rằng:  $ a + b + c \ge 3 $ bằng phương pháp phản chứng.

Đề bài: Cho \(a\geq b\geq c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\). Lời giải Ta có: \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)\(\Leftrightarrow b^{2}c+c^{2}a+a^{2}b\geq a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b\)$\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(a\geq b\geq c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\).

Đề bài: $1)$ Chứng minh: ${\log _{1999}}2000 > {\log _{2000}}2001$$2)$ Tổng quát $\forall n > 1 $. Chứng minh : ${\log _n}\left( {n + 1} \right) > {\log _{n + 1}}\left( {n + 2} \right)$ Lời giải $1)$    Ta có ${2000^2} > 1999\,.\,2001$. Lấy lôgarit cơ số $2000$$\begin{array}{l}2 > {\log _{2000}}1999 + {\log _{2000}}2001 > 2\sqrt {{{\log }_{2000}}1999.{{\log … [Đọc thêm...] vềĐề bài: $1)$ Chứng minh: ${\log _{1999}}2000 > {\log _{2000}}2001$$2)$ Tổng quát $\forall n > 1 $. Chứng minh : ${\log _n}\left( {n + 1} \right) > {\log _{n + 1}}\left( {n + 2} \right)$

Đề bài: Chứng minh rằng ta luôn luôn có:   $ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca $ với mọi số thực $a, b, c$. Lời giải Giả sử tồn tại 3 số thực a, b, c sao cho ta có: $ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2}  \Leftrightarrow 2({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge 2ab + 2bc + 2ca\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca  \Leftrightarrow {\left( {a - b} … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng ta luôn luôn có:   $ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca $ với mọi số thực $a, b, c$.

Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{3}+2\geq a^{2}+2\sqrt{a}\) với \(a\geq 0\)   (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow a^{3}+2-a^{2}-2\sqrt{a}\geq 0 \\\Leftrightarrow a^{2}(a-1)-2(\sqrt{a}-1)\geq 0\)\(\Leftrightarrow a^{2}(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)-2(\sqrt{a}-1)\geq 0\)\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)[a^{2}(\sqrt{a}+1)-2]\geq 0\)   (2)_Nếu \(a\geq 1 \Rightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: \(a^{3}+2\geq a^{2}+2\sqrt{a}\) với \(a\geq 0\)   (1)

Đề bài: $1) $Chứng minh: $\forall a,\,b\, > 0;\,a,b \ne 1$ ta có $\left| {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right| \ge 2$$2)$Chứng minh:$\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{\frac{9}{2}}}\pi }} < 2$ Lời giải $1)$    Ta có:  ${\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right)^2} = \log _a^2b + \log _b^2a + 2\,\,\,\,\,(1)$Áp dụng bất đẳng thức côsi:$\log _a^2b … [Đọc thêm...] vềĐề bài: $1) $Chứng minh: $\forall a,\,b\, > 0;\,a,b \ne 1$ ta có $\left| {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right| \ge 2$$2)$Chứng minh:$\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{\frac{9}{2}}}\pi }} < 2$

Đề bài: Chứng minh rằng  $ \frac{a^6 + b^9}{4} \ge 3a^2b^3 - 16;     b \ge 0 $ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm  $ {\left( {{a^2}} \right)^3},{\left( {{b^3}} \right)^3},{4^3} $  ta có : $ \begin{array}{l}\frac{{{{\left( {{a^2}} \right)}^3} + {{\left( {{b^3}} \right)}^3} + {4^3}}}{3} \ge \sqrt[3]{{{{\left( {{a^2}} \right)}^3}.{{\left( … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng  $ \frac{a^6 + b^9}{4} \ge 3a^2b^3 – 16;     b \ge 0 $