Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: $1)$ Chứng minh: ${\log _{1999}}2000 > {\log _{2000}}2001$$2)$ Tổng quát $\forall n > 1 $. Chứng minh : ${\log _n}\left( {n + 1} \right) > {\log _{n + 1}}\left( {n + 2} \right)$ Lời giải $1)$    Ta có ${2000^2} > 1999\,.\,2001$. Lấy lôgarit cơ số $2000$$\begin{array}{l}2 > {\log _{2000}}1999 + {\log _{2000}}2001 > 2\sqrt {{{\log }_{2000}}1999.{{\log … [Đọc thêm...] vềĐề bài: $1)$ Chứng minh: ${\log _{1999}}2000 > {\log _{2000}}2001$$2)$ Tổng quát $\forall n > 1 $. Chứng minh : ${\log _n}\left( {n + 1} \right) > {\log _{n + 1}}\left( {n + 2} \right)$

Đề bài: Chứng minh rằng ta luôn luôn có:   $ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca $ với mọi số thực $a, b, c$. Lời giải Giả sử tồn tại 3 số thực a, b, c sao cho ta có: $ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2}  \Leftrightarrow 2({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge 2ab + 2bc + 2ca\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca  \Leftrightarrow {\left( {a - b} … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng ta luôn luôn có:   $ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca $ với mọi số thực $a, b, c$.

Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{3}+2\geq a^{2}+2\sqrt{a}\) với \(a\geq 0\)   (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow a^{3}+2-a^{2}-2\sqrt{a}\geq 0 \\\Leftrightarrow a^{2}(a-1)-2(\sqrt{a}-1)\geq 0\)\(\Leftrightarrow a^{2}(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)-2(\sqrt{a}-1)\geq 0\)\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)[a^{2}(\sqrt{a}+1)-2]\geq 0\)   (2)_Nếu \(a\geq 1 \Rightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: \(a^{3}+2\geq a^{2}+2\sqrt{a}\) với \(a\geq 0\)   (1)

Đề bài: $1) $Chứng minh: $\forall a,\,b\, > 0;\,a,b \ne 1$ ta có $\left| {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right| \ge 2$$2)$Chứng minh:$\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{\frac{9}{2}}}\pi }} < 2$ Lời giải $1)$    Ta có:  ${\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right)^2} = \log _a^2b + \log _b^2a + 2\,\,\,\,\,(1)$Áp dụng bất đẳng thức côsi:$\log _a^2b … [Đọc thêm...] vềĐề bài: $1) $Chứng minh: $\forall a,\,b\, > 0;\,a,b \ne 1$ ta có $\left| {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right| \ge 2$$2)$Chứng minh:$\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{\frac{9}{2}}}\pi }} < 2$

Đề bài: Chứng minh rằng  $ \frac{a^6 + b^9}{4} \ge 3a^2b^3 - 16;     b \ge 0 $ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm  $ {\left( {{a^2}} \right)^3},{\left( {{b^3}} \right)^3},{4^3} $  ta có : $ \begin{array}{l}\frac{{{{\left( {{a^2}} \right)}^3} + {{\left( {{b^3}} \right)}^3} + {4^3}}}{3} \ge \sqrt[3]{{{{\left( {{a^2}} \right)}^3}.{{\left( … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng  $ \frac{a^6 + b^9}{4} \ge 3a^2b^3 – 16;     b \ge 0 $