Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b \forall a,b,c\in R\). Lời giải Ta có: \(a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b \\\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}+2\geq 2ab+2a+2b\)\(\Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2}+a^{2}-2a+1+b^{2}-2b+1\geq 0\)\(\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(a-1)^{2}+(b-1)^{2}\geq 0\) đúng, \(\forall a,b,c\in R\).Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b \forall a,b,c\in R\).
Bất đẳng thức cơ bản
Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a) $|x-1|+|5-x| \geq 4 b)|x-1|-|x+6| \leq 7 $c)$|x-y|+|y-z|+|z-t|\geq |x-t| d) |x+5|+|x-2|+|x-3|\geq 8$
Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a) $|x-1|+|5-x| \geq 4 b)|x-1|-|x+6| \leq 7 $c)$|x-y|+|y-z|+|z-t|\geq |x-t| d) |x+5|+|x-2|+|x-3|\geq 8$ Lời giải hướng dẫn: dùng bất đẳng thức giá trị tuyệt đốiThêm lời giải chi tiết ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a) $|x-1|+|5-x| \geq 4 b)|x-1|-|x+6| \leq 7 $c)$|x-y|+|y-z|+|z-t|\geq |x-t| d) |x+5|+|x-2|+|x-3|\geq 8$
Đề bài: Cho 2 số $a$ và $b$ thỏa điều kiện $ab > 1$. Chứng minh rằng: $ \frac{1}{1 + a^2 }+ \frac{1}{1 + b^2} \ge \frac{2}{1 + ab} $
Đề bài: Cho 2 số $a$ và $b$ thỏa điều kiện $ab > 1$. Chứng minh rằng: $ \frac{1}{1 + a^2 }+ \frac{1}{1 + b^2} \ge \frac{2}{1 + ab} $ Lời giải Ta có: $ \begin{array}{l}\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} - \frac{2}{{1 + ab}} = \left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}} - \frac{1}{{1 + ab}}} \right) + \left( {\frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + ab}}} \right)\\= … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho 2 số $a$ và $b$ thỏa điều kiện $ab > 1$. Chứng minh rằng: $ \frac{1}{1 + a^2 }+ \frac{1}{1 + b^2} \ge \frac{2}{1 + ab} $
Đề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\) (1)
Đề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\) (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^{2}}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{1}{1+ab}\geq 0\)\(\Leftrightarrow \frac{ab-a^{2}}{(1+a^{2})(1+ab)}+\frac{ab-b^{2}}{(1+b^{2})(1+ab)}\geq 0\)\(\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\) (1)
Đề bài: Cho $a+b+c\neq 0$,hãy chứng minh:$1/a^{3}+ b^{3} + c^{3} =3abc+\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+ b^{2} + c^{2} -ab-bc-ca \right )$ $2/\frac{ a^{3}+ b^{3} + c^{3} -3abc}{ a+b+c }\geq 0$
Đề bài: Cho $a+b+c\neq 0$,hãy chứng minh:$1/a^{3}+ b^{3} + c^{3} =3abc+\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+ b^{2} + c^{2} -ab-bc-ca \right )$ $2/\frac{ a^{3}+ b^{3} + c^{3} -3abc}{ a+b+c }\geq 0$ Lời giải $1/$Ta có:$a^{3}+ b^{3}= \left ( a+b \right )^{3}-3ab \left ( a+b \right )$$\Rightarrow a^{3}+ b^{3} + c^{3} -3abc= \left ( a+b \right )^{3} + … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a+b+c\neq 0$,hãy chứng minh:$1/a^{3}+ b^{3} + c^{3} =3abc+\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+ b^{2} + c^{2} -ab-bc-ca \right )$ $2/\frac{ a^{3}+ b^{3} + c^{3} -3abc}{ a+b+c }\geq 0$
Đề bài: Cho $a$ và $b$ là 2 số dương. Chứng minh rằng: $ a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3 $
Đề bài: Cho $a$ và $b$ là 2 số dương. Chứng minh rằng: $ a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3 $ Lời giải Ta có: $ \begin{array}{l}\left( {{a^4} + {b^4}} \right) - \left( {{a^3}b + a{b^3}} \right) = {a^3}\left( {a - b} \right) - {b^3}\left( {a - b} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {{a^3} - {b^3}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{a^4} + {b^4}} \right) - \left( … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a$ và $b$ là 2 số dương. Chứng minh rằng: $ a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3 $
Đề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc\).
Đề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc\). Lời giải Ta có:\(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc \\\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab+ac-2bc\geq 0\)\(\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{2}-b+c \right )^{2}\geq 0\) (đúng)\(\Rightarrow \)đpcm.Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{2}-b+c=0$. ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc\).
Đề bài: Cho $a+b=2$.Hãy chứng minh:$1/ a^{2}+ b^{2} \geq 2$ $2/ a^{4}+ b^{4} \geq 2$
Đề bài: Cho $a+b=2$.Hãy chứng minh:$1/ a^{2}+ b^{2} \geq 2$ $2/ a^{4}+ b^{4} \geq 2$ Lời giải Đặt: $\begin{cases}a=1+x \\ b=1+y \end{cases}\Rightarrow x+y=0$$1/$Lúc đó: $a^{2}+ b^{2} = \left ( 1+x \right )^{2}+ \left ( 1+y \right )^{2} $ $=1+2x+ x^{2}+ 1+2y+ y^{2} =2+2 \left ( x+y \right )+ x^{2}+ y^{2} $ … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a+b=2$.Hãy chứng minh:$1/ a^{2}+ b^{2} \geq 2$ $2/ a^{4}+ b^{4} \geq 2$
Đề bài: Chứng minh rằng: $ \frac{2x^2 – x + 1}{2x^2 + x + 1} > \frac{1}{3} \forall x \in R $
Đề bài: Chứng minh rằng: $ \frac{2x^2 - x + 1}{2x^2 + x + 1} > \frac{1}{3} \forall x \in R $ Lời giải Đặt $ y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{2{x^2} + x + 1}}, $ xác định $ \forall x \in R $ .$ \Leftrightarrow 2\left( {y - 1} \right){x^2} + \left( {y + 1} \right)x + y - 1 = 0 $ (1)Nếu y = 1:$ \left( 1 \right) \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 $ Giá … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: $ \frac{2x^2 – x + 1}{2x^2 + x + 1} > \frac{1}{3} \forall x \in R $
Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+2\geq ab+2(a+b)\).
Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+2\geq ab+2(a+b)\). Lời giải Ta có: \(a^{2}+b^{2}+4\geq ab+2(a+b)\)\(\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}+4\geq 2ab+4a+4b\)$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-4a+4)+(b^2-4b+4)\ge 0$\(\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(a-2)^{2}+(b-2)^{2}\geq 0\) (đúng) \(\Rightarrow \) đpcm.Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} a=b\\ a=2\\b=2 … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+2\geq ab+2(a+b)\).