Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Cho 2 số $a$ và $b$ thỏa điều kiện $ab > 1$. Chứng minh rằng: $ \frac{1}{1 + a^2 }+ \frac{1}{1 + b^2} \ge \frac{2}{1 + ab} $  Lời giải Ta có:   $ \begin{array}{l}\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} - \frac{2}{{1 + ab}} = \left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}} - \frac{1}{{1 + ab}}} \right) + \left( {\frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + ab}}} \right)\\= … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho 2 số $a$ và $b$ thỏa điều kiện $ab > 1$. Chứng minh rằng: $ \frac{1}{1 + a^2 }+ \frac{1}{1 + b^2} \ge \frac{2}{1 + ab} $ 

Đề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\)  (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^{2}}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{1}{1+ab}\geq 0\)\(\Leftrightarrow \frac{ab-a^{2}}{(1+a^{2})(1+ab)}+\frac{ab-b^{2}}{(1+b^{2})(1+ab)}\geq 0\)\(\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\)  (1)

Đề bài: Cho $a+b+c\neq 0$,hãy chứng minh:$1/a^{3}+ b^{3} + c^{3} =3abc+\left (  a+b+c  \right )\left (  a^{2}+ b^{2} + c^{2} -ab-bc-ca \right )$ $2/\frac{ a^{3}+ b^{3} + c^{3} -3abc}{  a+b+c }\geq 0$  Lời giải $1/$Ta có:$a^{3}+  b^{3}= \left ( a+b \right )^{3}-3ab \left ( a+b \right )$$\Rightarrow  a^{3}+  b^{3} +  c^{3} -3abc= \left ( a+b \right )^{3} + … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a+b+c\neq 0$,hãy chứng minh:$1/a^{3}+ b^{3} + c^{3} =3abc+\left (  a+b+c  \right )\left (  a^{2}+ b^{2} + c^{2} -ab-bc-ca \right )$ $2/\frac{ a^{3}+ b^{3} + c^{3} -3abc}{  a+b+c }\geq 0$ 

Đề bài: Cho $a$ và $b$ là 2 số dương. Chứng minh rằng: $ a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3 $ Lời giải Ta có: $ \begin{array}{l}\left( {{a^4} + {b^4}} \right) - \left( {{a^3}b + a{b^3}} \right) = {a^3}\left( {a - b} \right) - {b^3}\left( {a - b} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {{a^3} - {b^3}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{a^4} + {b^4}} \right) - \left( … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a$ và $b$ là 2 số dương. Chứng minh rằng: $ a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3 $

Đề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc\). Lời giải Ta có:\(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc \\\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab+ac-2bc\geq 0\)\(\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{2}-b+c \right )^{2}\geq 0\) (đúng)\(\Rightarrow \)đpcm.Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{2}-b+c=0$. ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc\).

Đề bài: Cho $a+b=2$.Hãy chứng minh:$1/ a^{2}+ b^{2} \geq 2$   $2/ a^{4}+ b^{4} \geq 2$  Lời giải Đặt: $\begin{cases}a=1+x \\ b=1+y \end{cases}\Rightarrow x+y=0$$1/$Lúc đó: $a^{2}+ b^{2} = \left ( 1+x   \right )^{2}+  \left ( 1+y   \right )^{2}   $               $=1+2x+ x^{2}+ 1+2y+ y^{2}  =2+2 \left ( x+y   \right )+  x^{2}+  y^{2}  $               … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a+b=2$.Hãy chứng minh:$1/ a^{2}+ b^{2} \geq 2$   $2/ a^{4}+ b^{4} \geq 2$ 

Đề bài: Chứng minh rằng:  $ \frac{2x^2 - x + 1}{2x^2 + x + 1} > \frac{1}{3}  \forall x \in R $ Lời giải Đặt  $ y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{2{x^2} + x + 1}}, $  xác định  $ \forall x \in R $ .$  \Leftrightarrow 2\left( {y - 1} \right){x^2} + \left( {y + 1} \right)x + y - 1 = 0 $         (1)Nếu y = 1:$ \left( 1 \right) \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 $ Giá … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng:  $ \frac{2x^2 – x + 1}{2x^2 + x + 1} > \frac{1}{3}  \forall x \in R $

Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+2\geq ab+2(a+b)\). Lời giải Ta có: \(a^{2}+b^{2}+4\geq ab+2(a+b)\)\(\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}+4\geq 2ab+4a+4b\)$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-4a+4)+(b^2-4b+4)\ge 0$\(\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(a-2)^{2}+(b-2)^{2}\geq 0\) (đúng) \(\Rightarrow \) đpcm.Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} a=b\\ a=2\\b=2 … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+2\geq ab+2(a+b)\).

Đề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$:a) $|x+y+z|\leq|x|+|y|+|z|                     b)|x-z|\leq |x-y|+|y-z|$ Lời giải a) $|x+y+z|\leq |x+(y+z)|\leq |x|+|y+z|\leq |x|+|y|+|z|$b) $|x-z|=|(x-y)+(y-z)|\leq |x-y|+|y-z|$ ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$:a) $|x+y+z|\leq|x|+|y|+|z|                     b)|x-z|\leq |x-y|+|y-z|$

Đề bài: Cho $3$ số dương $a, b, c$ thỏa $abc = 1$. Chứng minh rằng:  $ a + b + c \ge 3 $ bằng phương pháp phản chứng. Lời giải Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thỏa điều kiện  $ abc = 1 $  mà  $ a + b + c Ta có:  $ a + b + c Thay  $ abc = 1, $  ta có:  $ \begin{array}{l}{a^2}b + a{b^2} + 1  \Leftrightarrow a{b^2} + \left( {{a^2} - 3a} \right)b \end{array} $ … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $3$ số dương $a, b, c$ thỏa $abc = 1$. Chứng minh rằng:  $ a + b + c \ge 3 $ bằng phương pháp phản chứng.