Lời giải
Ta có:
(1) \(\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^{2}}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{1}{1+ab}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{ab-a^{2}}{(1+a^{2})(1+ab)}+\frac{ab-b^{2}}{(1+b^{2})(1+ab)}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a(b-a)}{(1+a^{2})(1+ab)}+\frac{b(a-b)}{(1+b^{2})(1+ab)}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(b-a)}{(1+ab)}\left (
\frac{a}{1+a^{2}}-\frac{b}{1+b^{2}} \right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(b-1)}{(1+ab)}\left (
\frac{a+ab^{2}-b-ba^{2}}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(b-a)^{2}(ab-1)}{(1+ab)(1+a^{2})(1+b^{2})}\geq 0\) đúng
Vì \(a\geq b\geq 1 \Rightarrow ab\geq 1 \Rightarrow ab-1\geq 0\).
Dấu bằng xảy ra khi
$\left[ \begin{array}{l} a=b\\ ab=1 \end{array} \right.$
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản
Trả lời