Đề bài: Cho $a+b=2$.Hãy chứng minh:$1/ a^{2}+ b^{2} \geq 2$   $2/ a^{4}+ b^{4} \geq 2$ 

Lời giải

Đặt: $\begin{cases}a=1+x \\ b=1+y \end{cases}\Rightarrow x+y=0$
$1/$Lúc đó: $a^{2}+ b^{2} =
\left (
1+x   \right )^{2}+
 \left ( 1+y   \right )^{2}   $
               $=1+2x+ x^{2}+
1+2y+ y^{2}  =2+2
\left ( x+y   \right )+
 x^{2}+ 
y^{2}  $ 
               $=2+
x^{2}+  y^{2} \geq 2$ 
Vậy: 
$a^{2}+ b^{2}
\geq 2$ 
$2/$Ta có:  
$a^{4}+ b^{4} = \left ( 1+x   \right )^{4}+  \left ( 1+y   \right )^{4}   $
$=\left (
1+4x+ 6x^{2}+ 4x^{3}  + x^{4}   \right )+
\left ( 1+4y+ 6y^{2}+ 4y^{3}  + y^{4}   \right ) $ 
 $
=2+4 \left ( x+y   \right )+  6\left ( 
x^{2}+  y^{2}  \right )+  4\left (  x^{3}+  y^{3}  \right )+ 
x^{4}+  y^{4} $ 
$=2+6
\left (  x^{2}+  y^{2}  \right ) +
x^{4}+  y^{4}  \geq 2$ 
(Vì:  $
 x^{3}+  y^{3} =
\left ( x+y   \right )
 \left (  x^{2}-xy+  y^{2}  \right )=0  $)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản