Đề bài: Cho $a$ và $b$ là 2 số dương. Chứng minh rằng: $ a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3 $

Lời giải

Ta có:
$ \begin{array}{l}
\left( {{a^4} + {b^4}} \right) – \left( {{a^3}b + a{b^3}} \right) = {a^3}\left( {a – b} \right) – {b^3}\left( {a – b} \right) = \left( {a – b} \right)\left( {{a^3} – {b^3}} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {{a^4} + {b^4}} \right) – \left( {{a^3}b + a{b^3}} \right) = {(a – b)^2}({a^2} + ab + {b^2}) \ge 0\,\,\,\forall a,b > 0\\
 \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} \ge {a^3}b + a{b^3}
\end{array} $
Dấu “=” xảy ra  $  \Leftrightarrow {\left( {a – b} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = b $

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản