Đề bài: Chứng minh rằng với 3 số dương $a,b,c$ bất kì, ta luôn có: $\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$

Lời giải

Ta có:
$\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge \frac{{2{\rm{a  –  b}}}}{{\rm{3}}}\Leftrightarrow 3a^3\ge a(a^2+ab+b^2)+a^3-b^3\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+b^2a$   (đúng)
Tương tự ta có: $\frac{{{b^3}}}{{{b^2} +bc + {c^2}}} \ge \frac{{2{\rm{b-c}}}}{{\rm{3}}}$ và $\frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{2{\rm{c-a}}}}{{\rm{3}}}$
 Cộng $3$ BĐT trên lại ta có ĐPCM

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản