Đề bài: Chứng minh rằng nếu  $08$

Lời giải

Với $0 0$, do đó bất đẳng thức đã cho cho tương đương với.
      $c{\rm{osx  >  8si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x ( cosx  –  sinx)}}$
$ \Leftrightarrow c{\rm{osx}}\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x +  si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x} \right) > 8{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x(c{\rm{osx  –  sinx)}}$
$ \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{3}}}{\rm{x  +  8si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}x > 7{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xcosx}}           (1)$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho  ba số dương : $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{3}}}{\rm{x , 4si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}x,{\rm{4si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}x$ ta có
$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{3}}}{\rm{x  +  8si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x  =  co}}{{\rm{s}}^{\rm{3}}}{\rm{x  +  4si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x  +  4si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x }}$
                               $ \ge 3\sqrt[3]{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}{\rm{.4si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}{\rm{.4si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}}} = 6\sqrt[3]{2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xcosx}}$
Vì $6\sqrt[3]{2} > 7$ nên $(1)$ luôn đúng.   (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản