Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \((a^{3}+b^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq (a+b)^{2}\).

Lời giải

Ta có:
\((a^{3}+b^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq (a+b)^{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{a}+\frac{b^{3}}{a}+\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{b}\geq a^{2}+2ab+b^{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{a}+\frac{b^{3}}{a}+\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{b}-a^{2}-2ab-b^{2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{b^{3}}{a}+\frac{a^{3}}{b}-2ab\geq 0\)(đúng)
Vì \(\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a^{3}b^{3}}{ab}}=2ab\) (Cosi)
\(\Rightarrow \)đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a^3}{b}=\frac{b^3}{a}\Rightarrow a=\pm b$.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản