Lời giải
Gọi $k > 0$ là cộng sai của cấp số cộng, ta có $b = a + k,c = a + 2k,d = a + 3k$ và điều kiện $2m \ge \left| {a{\rm{d – bc}}} \right| = \left| {a\left( {a + 3k} \right) – \left( {a + k} \right)\left( {a + 2k} \right)} \right| = 2{k^2} \Rightarrow {m^2} \ge {k^4}$.
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành.
$\left( {x – a} \right)\left( {x – a – k} \right)\left( {x – a – 2k} \right)\left( {x – a – 3k} \right) + {m^2} \ge 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {x – a} \right)}^2} – 3k\left( {x – a} \right)} \right]\left[ {{{\left( {x – a} \right)}^2} – 3k\left( {x – a} \right) + 2{k^2}} \right] + {m^2} \ge 0$ $(1)$
Đặt $t = {\left( {x – a} \right)^2} – 3k\left( {x – a} \right)$, $(1)$ trở thành
$f(t) = t(t + 2{k^2}) + {m^2} \ge 0$ $(2)$
Ta có ${\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{inf(t) = f( – }}{{\rm{k}}^{\rm{2}}}) = {m^2} – {k^4} \ge 0$ ( do ${m^2} \ge {k^4}$)
$ \Rightarrow $ $(2 )$ đúng với mọi t $ \Rightarrow (1)$ đúng với mọi $x$.
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản
Trả lời