Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \(a^{3}+b^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}\)  (1)

Lời giải

Ta có:
(1) \(\Leftrightarrow (a^{3}+b^{3})-(a^{2}b+ab^{2})\geq 0 \\\Leftrightarrow (a^{3}-a^{2}b)-(ab^{2}-b^{3})\geq 0\)
      \(\Leftrightarrow a^{2}(a-b)-b^{2}(a-b)\geq 0 \\\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2})(a-b)\geq 0\)
      \(\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0\) đúng

Vậy ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b.$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản