• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho \(x,y \) dương . Chứng minh: \(\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}\)

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Cho \(x,y \) dương . Chứng minh: \(\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}\)

Bat dang thuc

Lời giải

BĐT \(
\Leftrightarrow \left ( 1+xy \right )[\left (1+ x \right )^{2} +\left (1+ y \right )^{2}]\geq \left (1+ x \right )^{2} \left (1+ y \right )^{2}
\)
\(
\Leftrightarrow \left ( 1+xy \right )[2\left ( 1+x+y \right )+x^{2}+y^{2}]\geq [\left ( 1+x+y \right )+xy]^{2} 
\)
\(
\Leftrightarrow 1+xy\left ( x^{2}+y^{2} \right )\geq 2xy+x^{2}y^{2}
\)
\(
\Leftrightarrow xy\left ( x^{2}+y^{2}-2xy \right )+\left ( x^{2}y^{2}-2xy+1 \right )\geq 0
\)
\(
\Leftrightarrow xy\left ( x-y \right )^{2}+\left ( xy-1 \right )^{2}\geq 0:
\) Đúng vì \(
x,y\geq 0
\)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức cơ bản

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Chứng minh rằng  $ 200^{300} > 300^{200} $ 
  2. Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b  \forall a,b,c\in R\).
  3. Đề bài: Cho $a+b+c\neq 0$,hãy chứng minh:$1/a^{3}+ b^{3} + c^{3} =3abc+\left (  a+b+c  \right )\left (  a^{2}+ b^{2} + c^{2} -ab-bc-ca \right )$ $2/\frac{ a^{3}+ b^{3} + c^{3} -3abc}{  a+b+c }\geq 0$ 
  4. Đề bài: Cho 2 số $a$ và $b$ thỏa điều kiện $ab > 1$. Chứng minh rằng: $ \frac{1}{1 + a^2 }+ \frac{1}{1 + b^2} \ge \frac{2}{1 + ab} $ 
  5. Đề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\)  (1)
  6. Đề bài: Cho $a+b=2$.Hãy chứng minh:$1/ a^{2}+ b^{2} \geq 2$   $2/ a^{4}+ b^{4} \geq 2$ 
  7. Đề bài: Cho $a$ và $b$ là 2 số dương. Chứng minh rằng: $ a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3 $
  8. Đề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc\).
  9. Đề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$:a) $|x+y+z|\leq|x|+|y|+|z|                     b)|x-z|\leq |x-y|+|y-z|$
  10. Đề bài: Chứng minh rằng:  $ \frac{2x^2 – x + 1}{2x^2 + x + 1} > \frac{1}{3}  \forall x \in R $
  11. Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+2\geq ab+2(a+b)\).
  12. Đề bài: $1)$ Chứng minh: ${\log _{1999}}2000 > {\log _{2000}}2001$$2)$ Tổng quát $\forall n > 1 $. Chứng minh : ${\log _n}\left( {n + 1} \right) > {\log _{n + 1}}\left( {n + 2} \right)$
  13. Đề bài: Cho $3$ số dương $a, b, c$ thỏa $abc = 1$. Chứng minh rằng:  $ a + b + c \ge 3 $ bằng phương pháp phản chứng.
  14. Đề bài: Cho \(a\geq b\geq c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\).
  15. Đề bài: $1) $Chứng minh: $\forall a,\,b\, > 0;\,a,b \ne 1$ ta có $\left| {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right| \ge 2$$2)$Chứng minh:$\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{\frac{9}{2}}}\pi }} < 2$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.