Đề bài: Cho \(x,y \) dương . Chứng minh: \(\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}\)

Lời giải

BĐT \(
\Leftrightarrow \left ( 1+xy \right )[\left (1+ x \right )^{2} +\left (1+ y \right )^{2}]\geq \left (1+ x \right )^{2} \left (1+ y \right )^{2}
\)
\(
\Leftrightarrow \left ( 1+xy \right )[2\left ( 1+x+y \right )+x^{2}+y^{2}]\geq [\left ( 1+x+y \right )+xy]^{2} 
\)
\(
\Leftrightarrow 1+xy\left ( x^{2}+y^{2} \right )\geq 2xy+x^{2}y^{2}
\)
\(
\Leftrightarrow xy\left ( x^{2}+y^{2}-2xy \right )+\left ( x^{2}y^{2}-2xy+1 \right )\geq 0
\)
\(
\Leftrightarrow xy\left ( x-y \right )^{2}+\left ( xy-1 \right )^{2}\geq 0:
\) Đúng vì \(
x,y\geq 0
\)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản