Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{3}+2\geq a^{2}+2\sqrt{a}\) với \(a\geq 0\)   (1)

Lời giải

Ta có:
(1) \(\Leftrightarrow a^{3}+2-a^{2}-2\sqrt{a}\geq 0 \\
\Leftrightarrow a^{2}(a-1)-2(\sqrt{a}-1)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow a^{2}(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)-2(\sqrt{a}-1)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)[a^{2}(\sqrt{a}+1)-2]\geq 0\)   (2)
_Nếu \(a\geq 1 \Rightarrow \sqrt{a}-1\geq 0\) và \(\sqrt{a}+2\geq 2\). Do đó (2) đúng.
_Nếu \(aTóm lại ta đã chứng minh: \(a^{3}+2\geq a^{2}+2\sqrt{a}, a\geq 0\).

Dấu bằng xảy ra khi $\left[ \begin{array}{l} \sqrt a=1\\ (\sqrt a)^3+(\sqrt a)^2-2=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=1\\ (\sqrt a-1)(a+\sqrt a+2)=0 \end{array} \right.\Rightarrow a=1.$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản