Đề bài: Cho \(a\geq b\geq c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\).

Lời giải

Ta có:
\(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
\(\Leftrightarrow b^{2}c+c^{2}a+a^{2}b\geq a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b\)
$\Leftrightarrow (b^2c-b^2a)+(c^2a-c^2b)+(a^2b-a^2c)\ge0$
\(\Leftrightarrow b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)+a^{2}(b-c)\ge0\)
Ta lại có
\(b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)+a^{2}(b-c)\geq b^{2}(c-b)+a^{2}(b-c)+c^{2}(a-b)\)
                                                                   \(\geq (a^{2}-b^{2})(b-c)+c^{2}(a-b)\geq 0\).
Từ đó ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c.$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản