Đề bài:  Giả sử $x,y$ liên hệ với nhau bởi hệ thức $3x^2+4xy+3y^2=14$. Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x,y \leq 14$

Lời giải

Từ giả thiết bài toán suy ra $x,y$ không đồng thời bằng $0$. Gọi $Q(x,y)=x^2+y^2$
Trường hợp $1: x=0$ hoặc $y=0$ dễ dàng suy ra $Q=\frac{14}{3}                          (1)$
Trường hợp $2: xy \neq 0$, đặt $y=x.t, t \in R$ ta có
$\frac{Q}{14}=\frac{x^2(1+t^2)}{x^2(3+4t+3t^2)} \Leftrightarrow \frac{Q}{14}=\frac{1+t^2}{3+4t+3t^2}        (2)$
Để ý: $3t^2+4t+3>0, \forall t \in R$ nên $(2) \Leftrightarrow Q(3t^2+4t+3)=14(1+t^2)$
$\Leftrightarrow  (3Q-14)t^2+4Qt+3Q-14=0                               (3)$
Trường hợp $1a) 3Q-14=0 \Leftrightarrow Q=\frac{14}{3}$, khi đó $(3) \Leftrightarrow 4Qt=0 \Leftrightarrow t=0$
          $\Rightarrow y=0$, trái với giả thiết $x,y \neq 0$
Trường hợp $1b) 3Q-14 \neq 0$, Gọi $\Delta’=4Q^2-(3Q-14)^2=(5Q-14)(14-Q)$
Rõ ràng tập giá trị của $Q$ là tập nghiệm của $\Delta’ \geq 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{14}{5} \leq Q \leq \frac{14}{3}  }\\
{\frac{14}{3}\leq Q \leq 14 }
\end{array}} \right.               (4)$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $t=\frac{2Q}{3Q-14}                  (5)$
Do vậy thay vào $(5)$ sẽ có:
+ $Q=\frac{14}{5}$ đạt được khi và chỉ khi $t=-1 \Leftrightarrow x=-y \neq 0               (6.1)$
+ $Q=14$ đạt được khi và chỉ khi $t=1 \Leftrightarrow x=y \neq 0                            (6.2)$
Từ $(1),(4),(6.1),(6.2)$ kết luận: $\frac{14}{5} \leq Q \leq 14$           

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản