• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Đề bài:  Giả sử $x,y$ liên hệ với nhau bởi hệ thức $3x^2+4xy+3y^2=14$. Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x,y \leq 14$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài:  Giả sử $x,y$ liên hệ với nhau bởi hệ thức $3x^2+4xy+3y^2=14$. Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x,y \leq 14$

Bat dang thuc

Lời giải

Từ giả thiết bài toán suy ra $x,y$ không đồng thời bằng $0$. Gọi $Q(x,y)=x^2+y^2$
Trường hợp $1: x=0$ hoặc $y=0$ dễ dàng suy ra $Q=\frac{14}{3}                          (1)$
Trường hợp $2: xy \neq 0$, đặt $y=x.t, t \in R$ ta có
$\frac{Q}{14}=\frac{x^2(1+t^2)}{x^2(3+4t+3t^2)} \Leftrightarrow \frac{Q}{14}=\frac{1+t^2}{3+4t+3t^2}        (2)$
Để ý: $3t^2+4t+3>0, \forall t \in R$ nên $(2) \Leftrightarrow Q(3t^2+4t+3)=14(1+t^2)$
$\Leftrightarrow  (3Q-14)t^2+4Qt+3Q-14=0                               (3)$
Trường hợp $1a) 3Q-14=0 \Leftrightarrow Q=\frac{14}{3}$, khi đó $(3) \Leftrightarrow 4Qt=0 \Leftrightarrow t=0$
          $\Rightarrow y=0$, trái với giả thiết $x,y \neq 0$
Trường hợp $1b) 3Q-14 \neq 0$, Gọi $\Delta’=4Q^2-(3Q-14)^2=(5Q-14)(14-Q)$
Rõ ràng tập giá trị của $Q$ là tập nghiệm của $\Delta’ \geq 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{14}{5} \leq Q \leq \frac{14}{3}  }\\
{\frac{14}{3}\leq Q \leq 14 }
\end{array}} \right.               (4)$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $t=\frac{2Q}{3Q-14}                  (5)$
Do vậy thay vào $(5)$ sẽ có:
+ $Q=\frac{14}{5}$ đạt được khi và chỉ khi $t=-1 \Leftrightarrow x=-y \neq 0               (6.1)$
+ $Q=14$ đạt được khi và chỉ khi $t=1 \Leftrightarrow x=y \neq 0                            (6.2)$
Từ $(1),(4),(6.1),(6.2)$ kết luận: $\frac{14}{5} \leq Q \leq 14$           

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức cơ bản

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Chứng minh rằng  $ \frac{a^6 + b^9}{4} \ge 3a^2b^3 – 16;     b \ge 0 $
  2. Đề bài: Cho $a \le 6,b \le  – 8,c \le 3$. Chứng minh rằng với mọi $x \ge 1$ ta đều đó $x^4-ax^2-bx\geq c$
  3. Đề bài: Chứng minh rằng:   $\sin \frac{5\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}>1$
  4. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ ta có:  $|a\pm b|\geq |a|-|b|$
  5. Đề bài: Chứng minh rằng nếu  $08$
  6. Đề bài: Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:   $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\geq 6$
  7. Đề bài: Chứng minh rằng: Nếu $0
  8. Đề bài: Cho $a \ge 1,b \ge 1$. Chứng minh $\sqrt {{{\log }_2}a}  + \sqrt {{{\log }_2}b}  \ge 2\sqrt {{{\log }_2}\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)} $
  9. Đề bài: Cho $ a,b,c>0$. Chứng minh a) Nếu $a>b$ thì $\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c} $                          b) Nếu $ a
  10. Đề bài:  Biết rằng:  $3x^2+4xy+3y^2=14.$ Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x^2+y^2 \leq 14$
  11. Đề bài: Các số $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu lấy số $m$ sao cho $2m \ge|ad-bc|$, thì ta có với mọi $x$:  $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+ {m^2} \ge 0$
  12. Đề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen)
  13. Đề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$ không âm ta luôn có:  $xyz \geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)       (1)$
  14. Đề bài: Chứng minh rằng với 3 số dương $a,b,c$ bất kì, ta luôn có: $\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$
  15. Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \(a^{3}+b^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}\)  (1)

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.