• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen)

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen)

Bat dang thuc

Lời giải

$1/$ Bài toán $\Leftrightarrow \left ( 2+a^{2}+b^{2} \right )\left ( 1+ab \right )\geq 2\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )$
$\Leftrightarrow 2+a^{2}+b^{2}+2ab+ab\left (a^{2}+b^{2} \right )-2(1+a^2+b^2+a^{2}b^{2})\geq 0$
$\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)-2a^2b^2-(a^2+b^2-2ab)\geq 0$
$\Leftrightarrow ab\left ( a-b \right )^{2}-\left ( a-b \right )^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow \left ( ab-1 \right )\left ( a-b \right )^{2}\geq 0$, bất đẳng thức cuối đúng, vì
$\begin{cases}a\geq 1 \\b\geq 1 \end{cases}\Rightarrow a.b\geq 1$
Nhận xét: Qua cách chứng minh trên, ta chỉ cần điều kiện $ab\geq 1$ thì BĐT vẫn đúng.
$2/$ Áp dụng $(1)$ $2$ lần, ta có:
$\left ( \frac{1}{1+^{3}}+ \frac{1}{1+b^{3}} \right )+\left ( \frac{1}{1+c^{3}}+ \frac{1}{1+abc} \right )\geq $
$\geq \frac{2}{1+\left ( ab \right )^{\frac{3}{2}}}+ \frac{2}{1+\left ( abc^{4} \right )^{\frac{1}{2}}}\geq \frac{4}{1+\sqrt{\left ( ab \right )^{\frac{3}{2}}.\left ( abc^{4} \right )^{\frac{1}{2}}}}$$= \frac{4}{1+abc}$
$\Rightarrow \frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc}$
Chú ý : bài toán tổng quát
Cho $a_{i}\geq 1; i=1,2,……,n(n\in Z)$ thì:
$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{n}}\geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}a_{2}….a_{n}}}$
Cho $
a_{i} \leq 1 , i=1,2,……,n(n\in Z)$ thì:
$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{n}}\leq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}a_{2}….a_{n}}}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức cơ bản

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Chứng tỏ rằng:   $ x^2 – 6x + 5 \ge – 4       \forall x $
  2. Đề bài: Cho \(a>0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a}+\sqrt{a+2}<2\sqrt{a+1}\)   (1)
  3. Đề bài: Chứng minh bất đẳng thứca) $a>b>0 \Rightarrow  a^{2}> b^{2}                                  b)a>b\geq  0 \Rightarrow  \sqrt{a} > \sqrt{b}$c) $b,d >0; \frac{a}{b}< \frac{c}{d} \Rightarrow  \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}\leq \frac{c}{d}              d) m>n \Rightarrow  \sqrt[3]{m}> \sqrt[3]{n}  $
  4. Đề bài: Chứng minh rằng  $ 200^{300} > 300^{200} $ 
  5. Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b  \forall a,b,c\in R\).
  6. Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a) $|x-1|+|5-x| \geq  4                                              b)|x-1|-|x+6| \leq  7 $c)$|x-y|+|y-z|+|z-t|\geq  |x-t|                                            d) |x+5|+|x-2|+|x-3|\geq  8$
  7. Đề bài: Cho 2 số $a$ và $b$ thỏa điều kiện $ab > 1$. Chứng minh rằng: $ \frac{1}{1 + a^2 }+ \frac{1}{1 + b^2} \ge \frac{2}{1 + ab} $ 
  8. Đề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\)  (1)
  9. Đề bài: Cho $a+b+c\neq 0$,hãy chứng minh:$1/a^{3}+ b^{3} + c^{3} =3abc+\left (  a+b+c  \right )\left (  a^{2}+ b^{2} + c^{2} -ab-bc-ca \right )$ $2/\frac{ a^{3}+ b^{3} + c^{3} -3abc}{  a+b+c }\geq 0$ 
  10. Đề bài: Cho $a$ và $b$ là 2 số dương. Chứng minh rằng: $ a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3 $
  11. Đề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc\).
  12. Đề bài: Cho $a+b=2$.Hãy chứng minh:$1/ a^{2}+ b^{2} \geq 2$   $2/ a^{4}+ b^{4} \geq 2$ 
  13. Đề bài: Chứng minh rằng:  $ \frac{2x^2 – x + 1}{2x^2 + x + 1} > \frac{1}{3}  \forall x \in R $
  14. Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+2\geq ab+2(a+b)\).
  15. Đề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$:a) $|x+y+z|\leq|x|+|y|+|z|                     b)|x-z|\leq |x-y|+|y-z|$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.