Đề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen)

Lời giải

$1/$ Bài toán $\Leftrightarrow \left ( 2+a^{2}+b^{2} \right )\left ( 1+ab \right )\geq 2\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )$
$\Leftrightarrow 2+a^{2}+b^{2}+2ab+ab\left (a^{2}+b^{2} \right )-2(1+a^2+b^2+a^{2}b^{2})\geq 0$
$\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)-2a^2b^2-(a^2+b^2-2ab)\geq 0$
$\Leftrightarrow ab\left ( a-b \right )^{2}-\left ( a-b \right )^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow \left ( ab-1 \right )\left ( a-b \right )^{2}\geq 0$, bất đẳng thức cuối đúng, vì
$\begin{cases}a\geq 1 \\b\geq 1 \end{cases}\Rightarrow a.b\geq 1$
Nhận xét: Qua cách chứng minh trên, ta chỉ cần điều kiện $ab\geq 1$ thì BĐT vẫn đúng.
$2/$ Áp dụng $(1)$ $2$ lần, ta có:
$\left ( \frac{1}{1+^{3}}+ \frac{1}{1+b^{3}} \right )+\left ( \frac{1}{1+c^{3}}+ \frac{1}{1+abc} \right )\geq $
$\geq \frac{2}{1+\left ( ab \right )^{\frac{3}{2}}}+ \frac{2}{1+\left ( abc^{4} \right )^{\frac{1}{2}}}\geq \frac{4}{1+\sqrt{\left ( ab \right )^{\frac{3}{2}}.\left ( abc^{4} \right )^{\frac{1}{2}}}}$$= \frac{4}{1+abc}$
$\Rightarrow \frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc}$
Chú ý : bài toán tổng quát
Cho $a_{i}\geq 1; i=1,2,……,n(n\in Z)$ thì:
$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{n}}\geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}a_{2}….a_{n}}}$
Cho $
a_{i} \leq 1 , i=1,2,……,n(n\in Z)$ thì:
$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{n}}\leq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}a_{2}….a_{n}}}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản