• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen)

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức cơ bản

adsense
Đề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen)

Bat dang thuc

Lời giải

adsense

$1/$ Bài toán $\Leftrightarrow \left ( 2+a^{2}+b^{2} \right )\left ( 1+ab \right )\geq 2\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )$
$\Leftrightarrow 2+a^{2}+b^{2}+2ab+ab\left (a^{2}+b^{2} \right )-2(1+a^2+b^2+a^{2}b^{2})\geq 0$
$\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)-2a^2b^2-(a^2+b^2-2ab)\geq 0$
$\Leftrightarrow ab\left ( a-b \right )^{2}-\left ( a-b \right )^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow \left ( ab-1 \right )\left ( a-b \right )^{2}\geq 0$, bất đẳng thức cuối đúng, vì
$\begin{cases}a\geq 1 \\b\geq 1 \end{cases}\Rightarrow a.b\geq 1$
Nhận xét: Qua cách chứng minh trên, ta chỉ cần điều kiện $ab\geq 1$ thì BĐT vẫn đúng.
$2/$ Áp dụng $(1)$ $2$ lần, ta có:
$\left ( \frac{1}{1+^{3}}+ \frac{1}{1+b^{3}} \right )+\left ( \frac{1}{1+c^{3}}+ \frac{1}{1+abc} \right )\geq $
$\geq \frac{2}{1+\left ( ab \right )^{\frac{3}{2}}}+ \frac{2}{1+\left ( abc^{4} \right )^{\frac{1}{2}}}\geq \frac{4}{1+\sqrt{\left ( ab \right )^{\frac{3}{2}}.\left ( abc^{4} \right )^{\frac{1}{2}}}}$$= \frac{4}{1+abc}$
$\Rightarrow \frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc}$
Chú ý : bài toán tổng quát
Cho $a_{i}\geq 1; i=1,2,……,n(n\in Z)$ thì:
$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{n}}\geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}a_{2}….a_{n}}}$
Cho $
a_{i} \leq 1 , i=1,2,……,n(n\in Z)$ thì:
$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{n}}\leq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}a_{2}….a_{n}}}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức cơ bản

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Chứng minh rằng  $ \frac{a^6 + b^9}{4} \ge 3a^2b^3 – 16;     b \ge 0 $
  2. Đề bài: Cho \(x,y \) dương . Chứng minh: \(\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}\)
  3. Đề bài: Cho $a, b>0$. Chứng minh:a) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2           (1)$ Dấu = chỉ xảy ra khi $a=b$.b) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}      (2)$ Dấu = chỉ xảy ra khi $a=b$.
  4. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ ta có:  $|a\pm b|\geq |a|-|b|$
  5. Đề bài: Cho $a \le 6,b \le  – 8,c \le 3$. Chứng minh rằng với mọi $x \ge 1$ ta đều đó $x^4-ax^2-bx\geq c$
  6. Đề bài: Chứng minh rằng:   $\sin \frac{5\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}>1$
  7. Đề bài: Chứng minh rằng: Nếu $0
  8. Đề bài: Chứng minh rằng nếu  $08$
  9. Đề bài: Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:   $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\geq 6$
  10. Đề bài:  Biết rằng:  $3x^2+4xy+3y^2=14.$ Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x^2+y^2 \leq 14$
  11. Đề bài: Cho $a \ge 1,b \ge 1$. Chứng minh $\sqrt {{{\log }_2}a}  + \sqrt {{{\log }_2}b}  \ge 2\sqrt {{{\log }_2}\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)} $
  12. Đề bài: Cho $ a,b,c>0$. Chứng minh a) Nếu $a>b$ thì $\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c} $                          b) Nếu $ a
  13. Đề bài:  Giả sử $x,y$ liên hệ với nhau bởi hệ thức $3x^2+4xy+3y^2=14$. Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x,y \leq 14$
  14. Đề bài: Các số $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu lấy số $m$ sao cho $2m \ge|ad-bc|$, thì ta có với mọi $x$:  $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+ {m^2} \ge 0$
  15. Đề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$ không âm ta luôn có:  $xyz \geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)       (1)$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.