Đề bài: Cho $3$ số dương $a, b, c$ thỏa $abc = 1$. Chứng minh rằng:  $ a + b + c \ge 3 $ bằng phương pháp phản chứng.

Lời giải

Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thỏa điều kiện  $ abc = 1 $  mà  $ a + b + c Ta có:  $ a + b + c Thay  $ abc = 1, $  ta có:  $ \begin{array}{l}
{a^2}b + a{b^2} + 1  \Leftrightarrow a{b^2} + \left( {{a^2} – 3a} \right)b \end{array} $
Điều này chứng tỏ tam thức:  $ f\left( x \right) = a{x^2} + \left( {{a^2} – 3a} \right)x + 1 $
Có 2 nghiệm thực phân biệt. Do đó:
  $ \begin{array}{l}
\Delta  = {\left( {{a^2} – 3a} \right)^2} – 4a > 0\\
 \Leftrightarrow {a^4} – 6{a^3} + 9{a^2} – 4a > 0\\
 \Leftrightarrow a{\left( {a – 1} \right)^2}\left( {a – 4} \right) > 0\\
 \Leftrightarrow a > 4
\end{array} $
  $  \Rightarrow a + b + c > 4 $    mâu thuẫn.
Vậy ta luôn luôn có:
Với a, b, c > 0 và  $ abc = 1 $  thì  $ a + b + c \ge 3 $

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản