• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho $3$ số dương $a, b, c$ thỏa $abc = 1$. Chứng minh rằng:  $ a + b + c \ge 3 $ bằng phương pháp phản chứng.

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Cho $3$ số dương $a, b, c$ thỏa $abc = 1$. Chứng minh rằng:  $ a + b + c \ge 3 $ bằng phương pháp phản chứng.

Bat dang thuc

Lời giải

Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thỏa điều kiện  $ abc = 1 $  mà  $ a + b + c Ta có:  $ a + b + c Thay  $ abc = 1, $  ta có:  $ \begin{array}{l}
{a^2}b + a{b^2} + 1  \Leftrightarrow a{b^2} + \left( {{a^2} – 3a} \right)b \end{array} $
Điều này chứng tỏ tam thức:  $ f\left( x \right) = a{x^2} + \left( {{a^2} – 3a} \right)x + 1 $
Có 2 nghiệm thực phân biệt. Do đó:
  $ \begin{array}{l}
\Delta  = {\left( {{a^2} – 3a} \right)^2} – 4a > 0\\
 \Leftrightarrow {a^4} – 6{a^3} + 9{a^2} – 4a > 0\\
 \Leftrightarrow a{\left( {a – 1} \right)^2}\left( {a – 4} \right) > 0\\
 \Leftrightarrow a > 4
\end{array} $
  $  \Rightarrow a + b + c > 4 $    mâu thuẫn.
Vậy ta luôn luôn có:
Với a, b, c > 0 và  $ abc = 1 $  thì  $ a + b + c \ge 3 $

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức cơ bản

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$ không âm ta luôn có:  $xyz \geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)       (1)$
  2. Đề bài: Chứng minh rằng với 3 số dương $a,b,c$ bất kì, ta luôn có: $\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$
  3. Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \(a^{3}+b^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}\)  (1)
  4. Đề bài: Giả sử $a,b,\alpha  > 0$Nếu $\frac{a}{b} < 1,$ chứng minh $\frac{a}{b} < \frac{{a + \alpha }}{{b + \alpha }}$         (1)Nếu $\frac{a}{b} > 1$, chứng minh $\frac{a}{b} > \frac{{a + \alpha }}{{b + \alpha }}$        (2)
  5. Đề bài: Chứng minh: \((a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \forall a,b,c\in R\).
  6. Đề bài: Chứng minh:a) nếu $x\geq y \geq  0 $ thì $\frac{x}{1+x}\geq\frac{y}{1+y}$b)$\frac{|a-b|}{1+|a-b|}\leq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} $ với mọi $a,b$
  7. Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \((a^{3}+b^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq (a+b)^{2}\).
  8. Đề bài: $1$. Giải bất phương trình: ${3^{x + 1}} – {2^{2x + 1}} – {12^{\frac{x}{2}}} < 0$$2$. Cho $a, b, c$ là ba số thực bất kỳ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng: ${a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}$
  9. Đề bài: Cho \(a>0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a}+\sqrt{a+2}<2\sqrt{a+1}\)   (1)
  10. Đề bài: Chứng minh bất đẳng thứca) $a>b>0 \Rightarrow  a^{2}> b^{2}                                  b)a>b\geq  0 \Rightarrow  \sqrt{a} > \sqrt{b}$c) $b,d >0; \frac{a}{b}< \frac{c}{d} \Rightarrow  \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}\leq \frac{c}{d}              d) m>n \Rightarrow  \sqrt[3]{m}> \sqrt[3]{n}  $
  11. Đề bài: Chứng tỏ rằng:   $ x^2 – 6x + 5 \ge – 4       \forall x $
  12. Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b  \forall a,b,c\in R\).
  13. Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a) $|x-1|+|5-x| \geq  4                                              b)|x-1|-|x+6| \leq  7 $c)$|x-y|+|y-z|+|z-t|\geq  |x-t|                                            d) |x+5|+|x-2|+|x-3|\geq  8$
  14. Đề bài: Chứng minh rằng  $ 200^{300} > 300^{200} $ 
  15. Đề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\)  (1)

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.