Lời giải
Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thỏa điều kiện $ abc = 1 $ mà $ a + b + c Ta có: $ a + b + c Thay $ abc = 1, $ ta có: $ \begin{array}{l}
{a^2}b + a{b^2} + 1 \Leftrightarrow a{b^2} + \left( {{a^2} – 3a} \right)b \end{array} $
Điều này chứng tỏ tam thức: $ f\left( x \right) = a{x^2} + \left( {{a^2} – 3a} \right)x + 1 $
Có 2 nghiệm thực phân biệt. Do đó:
$ \begin{array}{l}
\Delta = {\left( {{a^2} – 3a} \right)^2} – 4a > 0\\
\Leftrightarrow {a^4} – 6{a^3} + 9{a^2} – 4a > 0\\
\Leftrightarrow a{\left( {a – 1} \right)^2}\left( {a – 4} \right) > 0\\
\Leftrightarrow a > 4
\end{array} $
$ \Rightarrow a + b + c > 4 $ mâu thuẫn.
Vậy ta luôn luôn có:
Với a, b, c > 0 và $ abc = 1 $ thì $ a + b + c \ge 3 $
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản
Trả lời