Đề bài: $1)$ Chứng minh: ${\log _{1999}}2000 > {\log _{2000}}2001$$2)$ Tổng quát $\forall n > 1 $. Chứng minh : ${\log _n}\left( {n + 1} \right) > {\log _{n + 1}}\left( {n + 2} \right)$

Lời giải

$1)$    Ta có ${2000^2} > 1999\,.\,2001$. Lấy lôgarit cơ số $2000$
$\begin{array}{l}
2 > {\log _{2000}}1999 + {\log _{2000}}2001 > 2\sqrt {{{\log }_{2000}}1999.{{\log }_{2000}}2001} \\
 \Rightarrow 1 > {\log _{2000}}1999\,x\,{\log _{2000}}2001\\
 \Rightarrow {\log _{1999}}2000 > {\log _{2000}}2001
\end{array}$
$2)$    Tương tự từ ${\left( {n + 1} \right)^2} > n\left( {n + 1} \right)\,\,ta\,\,suy\,\,ra:$
$\begin{array}{l}
 \Rightarrow 2 > {\log _{n + 1}}n + {\log _{n + 1}}\left( {n + 2} \right) > 2\sqrt {{{\log }_{n + 1}}n\,.\,{{\log }_{n + 1}}\left( {n + 2} \right)} \\
 \Rightarrow 1 > {\log _{n + 1}}n\,\,.\,{\log _{n + 1}}\left( {n + 2} \right) \Rightarrow {\log _n}\left( {n + 1} \right) > {\log _{n + 1}}\left( {n + 2} \right)
\end{array}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản