Đề bài: Chứng minh rằng ta luôn luôn có:   $ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca $ với mọi số thực $a, b, c$.

Lời giải

Giả sử tồn tại 3 số thực a, b, c sao cho ta có:
$ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + {c^2}  \Leftrightarrow 2({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge 2ab + 2bc + 2ca\\
 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} – 2ab – 2bc – 2ca  \Leftrightarrow {\left( {a – b} \right)^2} + {\left( {b – c} \right)^2} + {\left( {c – a} \right)^2} \end{array} $
Điều này vô lý.
Vậy:  $ {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca. $  Dấu “=” xảy ra  $  \Leftrightarrow a = b = c. $

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản