Đề bài:  Biết rằng:  $3x^2+4xy+3y^2=14.$ Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x^2+y^2 \leq 14$

Lời giải

Đặt $Q=x^2+y^2$
$\bullet$ Để ý: $14-Q=2(x+y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow Q \leq 14$.Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}{l} x+y=0\\ 3x^2+4xy+3y^2=14 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-y\\ x^2=7 \end{array} \right. \Leftrightarrow x=-y= \pm \sqrt{7} $
$\bullet$ Để ý : $14-5Q=-2(x-y)^2 \leq 0 \Leftrightarrow Q \geq \frac{14}{5}.$ Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{array}{l} x-y=0\\ 3x^2+4xy+3y^2=14 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y\\ 5x^2=7 \end{array} \right. \Leftrightarrow x=y= \pm \sqrt{\frac{7}{5} }  $     

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản