Đề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$ không âm ta luôn có:  $xyz \geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)       (1)$

Lời giải

                                     Giải
 Để ý: Với $x,y,z$ không âm thì trong ba số $a=(y+z-x), b=(x+z-y), c=(x+y-z)$ không thể có quá một số âm
Giả sử có hai số âm, do tính bình đẳng của $x,y,z$ giả sử $\begin{cases}x+y-zCộng vế theo vế ta có: $2x+ Nếu trong ba số $a,b,c$ có một số âm thì $(1)$ đúng ( do $xyz \geq 0\geq abc$)   $(2)$
+ Nếu cả ba số đều dương thì ta có $x^2 \geq x^2-(y-z)^2=(x+y-z)(x+z-y)>0$
Do vậy,nhân vế theo vế có $\Leftrightarrow  (xyz)^2 \geq (x+y+z)^2(x+z-y)^2(y+z-x)^2$
Từ $(2),(3)$ suy ra $(1)$ được chứng minh  

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản