Đề bài: Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:   $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\geq 6$

Lời giải

Cách $1$:
Ta biến đổi tương đương về đẳng thức sau:
       $
\displaystyle (1+\frac{a+b}{c})+(1+\frac{b+c}{a})+(1+\frac{a+c}{b})\geq 9$
       $
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a+b+c}{c}+\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}\geq 9$
       $
\displaystyle \Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$, luôn đúng.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.
Cách $2$:
$
\displaystyle VT=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\geq 6\sqrt[6]{\frac{a.b.b.c.a.c}{c.c.a.a.b.b}}=6 $ (áp dụng BĐT Côsi)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a=b=c$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản