Đề bài: Chứng minh: \((a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \forall a,b,c\in R\).

Lời giải

Ta có:
\((a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\)
\(\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\)
\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\)
\(\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}-2ab)+(b^{2}+c^{2}-2bc)+(c^{2}+a^{2}-2ac)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0\) đúng $\forall a;b;c$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} a=b\\b=c\\c=a \end{array} \right.\Rightarrow a=b=c.$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản