Đề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$ không âm ta luôn có: $xyz \geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x) (1)$ Lời giải Giải Để ý: Với $x,y,z$ không âm thì trong ba số $a=(y+z-x), b=(x+z-y), c=(x+y-z)$ không thể có quá một số âmGiả sử có hai số âm, do tính bình đẳng của $x,y,z$ giả sử $\begin{cases}x+y-zCộng vế theo vế ta có: $2x+ Nếu … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh với mọi $x,y,z$ không âm ta luôn có: $xyz \geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x) (1)$
Bất đẳng thức cơ bản
Đề bài: Chứng minh rằng với 3 số dương $a,b,c$ bất kì, ta luôn có: $\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$
Đề bài: Chứng minh rằng với 3 số dương $a,b,c$ bất kì, ta luôn có: $\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$ Lời giải Ta có:$\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge \frac{{2{\rm{a - b}}}}{{\rm{3}}}\Leftrightarrow 3a^3\ge a(a^2+ab+b^2)+a^3-b^3\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với 3 số dương $a,b,c$ bất kì, ta luôn có: $\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$
Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \(a^{3}+b^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}\) (1)
Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \(a^{3}+b^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}\) (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow (a^{3}+b^{3})-(a^{2}b+ab^{2})\geq 0 \\\Leftrightarrow (a^{3}-a^{2}b)-(ab^{2}-b^{3})\geq 0\) \(\Leftrightarrow a^{2}(a-b)-b^{2}(a-b)\geq 0 \\\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2})(a-b)\geq 0\) \(\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0\) đúng Vậy ta … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \(a^{3}+b^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}\) (1)
Đề bài: Giả sử $a,b,\alpha > 0$Nếu $\frac{a}{b} < 1,$ chứng minh $\frac{a}{b} < \frac{{a + \alpha }}{{b + \alpha }}$ (1)Nếu $\frac{a}{b} > 1$, chứng minh $\frac{a}{b} > \frac{{a + \alpha }}{{b + \alpha }}$ (2)
Đề bài: Giả sử $a,b,\alpha > 0$Nếu $\frac{a}{b} < 1,$ chứng minh $\frac{a}{b} < \frac{{a + \alpha }}{{b + \alpha }}$ (1)Nếu $\frac{a}{b} > 1$, chứng minh $\frac{a}{b} > \frac{{a + \alpha }}{{b + \alpha }}$ (2) Lời giải ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Giả sử $a,b,\alpha > 0$Nếu $\frac{a}{b} < 1,$ chứng minh $\frac{a}{b} < \frac{{a + \alpha }}{{b + \alpha }}$ (1)Nếu $\frac{a}{b} > 1$, chứng minh $\frac{a}{b} > \frac{{a + \alpha }}{{b + \alpha }}$ (2)
Đề bài: Chứng minh: \((a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \forall a,b,c\in R\).
Đề bài: Chứng minh: \((a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \forall a,b,c\in R\). Lời giải Ta có: \((a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\)\(\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\)\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\)\(\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}-2ab)+(b^{2}+c^{2}-2bc)+(c^{2}+a^{2}-2ac)\geq 0\)\(\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh: \((a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \forall a,b,c\in R\).
Đề bài: Chứng minh:a) nếu $x\geq y \geq 0 $ thì $\frac{x}{1+x}\geq\frac{y}{1+y}$b)$\frac{|a-b|}{1+|a-b|}\leq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} $ với mọi $a,b$
Đề bài: Chứng minh:a) nếu $x\geq y \geq 0 $ thì $\frac{x}{1+x}\geq\frac{y}{1+y}$b)$\frac{|a-b|}{1+|a-b|}\leq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} $ với mọi $a,b$ Lời giải a) Với $x \geq y \geq 0$ ta có:$\frac{x}{1+x} \geq \frac{y}{1+y} \Leftrightarrow x(1+y)\geq y(1+x)\Leftrightarrow x+xy \geq y+xy \Leftrightarrow x \geq y $ ( đúng)b) Vì $|a-b|\leq |a|+|b|$ … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh:a) nếu $x\geq y \geq 0 $ thì $\frac{x}{1+x}\geq\frac{y}{1+y}$b)$\frac{|a-b|}{1+|a-b|}\leq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} $ với mọi $a,b$
Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \((a^{3}+b^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq (a+b)^{2}\).
Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \((a^{3}+b^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq (a+b)^{2}\). Lời giải Ta có: \((a^{3}+b^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq (a+b)^{2}\)\(\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{a}+\frac{b^{3}}{a}+\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{b}\geq a^{2}+2ab+b^{2}\)\(\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng: \((a^{3}+b^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq (a+b)^{2}\).
Đề bài: $1$. Giải bất phương trình: ${3^{x + 1}} – {2^{2x + 1}} – {12^{\frac{x}{2}}} < 0$$2$. Cho $a, b, c$ là ba số thực bất kỳ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng: ${a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}$
Đề bài: $1$. Giải bất phương trình: ${3^{x + 1}} - {2^{2x + 1}} - {12^{\frac{x}{2}}} < 0$$2$. Cho $a, b, c$ là ba số thực bất kỳ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng: ${a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}$ Lời giải $1.{3^{x + 1}} - {2^{2x + 1}} - {12^{\frac{x}{2}}} $\Leftrightarrow 3-2(\frac{4}{3})^x-(\frac{\sqrt{12}}{3})^xĐặt … [Đọc thêm...] vềĐề bài: $1$. Giải bất phương trình: ${3^{x + 1}} – {2^{2x + 1}} – {12^{\frac{x}{2}}} < 0$$2$. Cho $a, b, c$ là ba số thực bất kỳ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng: ${a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}$
Đề bài: Chứng tỏ rằng: $ x^2 – 6x + 5 \ge – 4 \forall x $
Đề bài: Chứng tỏ rằng: $ x^2 - 6x + 5 \ge - 4 \forall x $ Lời giải Ta có: $ {x^2} - 6x + 5 = {\left( {x - 3} \right)^2} - 4 \ge - 4,\forall x $ Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow x = 3 $ ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng tỏ rằng: $ x^2 – 6x + 5 \ge – 4 \forall x $
Đề bài: Cho \(a>0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a}+\sqrt{a+2}<2\sqrt{a+1}\) (1)
Đề bài: Cho \(a>0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a}+\sqrt{a+2}<2\sqrt{a+1}\) (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{a+2})^{2}\leq 4(a+1)\)\(\Leftrightarrow a+a+2+2\sqrt{a(a+2)}\leq 4(a+1)\)\(\Leftrightarrow 2\sqrt{a(a+2)}\leq 2(a+1) \\\Leftrightarrow \sqrt{a(a+2)}\leq a+1\)\(\Leftrightarrow a(a+2)\leq (a+1)^{2} \\\Leftrightarrow 2a+a^{2}\leq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(a>0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a}+\sqrt{a+2}<2\sqrt{a+1}\) (1)