Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Cho $ a,b,c>0$. Chứng minh a) Nếu $a>b$ thì $\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c} $                          b) Nếu $ ab$  nên  $\frac{c\left ( a-b \right )}{b\left ( b+c \right )}>0$ điều phải chứng minhb) Chứng minh tương tự ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $ a,b,c>0$. Chứng minh a) Nếu $a>b$ thì $\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c} $                          b) Nếu $ a

Đề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen) Lời giải $1/$ Bài toán $\Leftrightarrow \left ( 2+a^{2}+b^{2} \right )\left ( 1+ab \right )\geq 2\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen)

Đề bài:  Giả sử $x,y$ liên hệ với nhau bởi hệ thức $3x^2+4xy+3y^2=14$. Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x,y \leq 14$ Lời giải Từ giả thiết bài toán suy ra $x,y$ không đồng thời bằng $0$. Gọi $Q(x,y)=x^2+y^2$Trường hợp $1: x=0$ hoặc $y=0$ dễ dàng suy ra $Q=\frac{14}{3}                          (1)$Trường hợp $2: xy \neq 0$, đặt $y=x.t, t \in R$ ta … [Đọc thêm...] vềĐề bài:  Giả sử $x,y$ liên hệ với nhau bởi hệ thức $3x^2+4xy+3y^2=14$. Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x,y \leq 14$

Đề bài: Chứng minh rằng  $ 200^{300} > 300^{200} $  Lời giải Ta có:$ \begin{array}{l}{200^{300}} = {({200^3})^{100}} = {8000000^{100}}\\{300^{200}} = {({300^2})^{100}} = {90000^{100}}\end{array} $  $  \Rightarrow  $  đpcm. ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng  $ 200^{300} > 300^{200} $ 

Đề bài: Cho 2 số $a$ và $b$ thỏa điều kiện $ab > 1$. Chứng minh rằng: $ \frac{1}{1 + a^2 }+ \frac{1}{1 + b^2} \ge \frac{2}{1 + ab} $  Lời giải Ta có:   $ \begin{array}{l}\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} - \frac{2}{{1 + ab}} = \left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}} - \frac{1}{{1 + ab}}} \right) + \left( {\frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + ab}}} \right)\\= … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho 2 số $a$ và $b$ thỏa điều kiện $ab > 1$. Chứng minh rằng: $ \frac{1}{1 + a^2 }+ \frac{1}{1 + b^2} \ge \frac{2}{1 + ab} $ 

Đề bài: Cho $a$ và $b$ là 2 số dương. Chứng minh rằng: $ a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3 $ Lời giải Ta có: $ \begin{array}{l}\left( {{a^4} + {b^4}} \right) - \left( {{a^3}b + a{b^3}} \right) = {a^3}\left( {a - b} \right) - {b^3}\left( {a - b} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {{a^3} - {b^3}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{a^4} + {b^4}} \right) - \left( … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a$ và $b$ là 2 số dương. Chứng minh rằng: $ a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3 $

Đề bài: Chứng minh rằng:  $ \frac{2x^2 - x + 1}{2x^2 + x + 1} > \frac{1}{3}  \forall x \in R $ Lời giải Đặt  $ y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{2{x^2} + x + 1}}, $  xác định  $ \forall x \in R $ .$  \Leftrightarrow 2\left( {y - 1} \right){x^2} + \left( {y + 1} \right)x + y - 1 = 0 $         (1)Nếu y = 1:$ \left( 1 \right) \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 $ Giá … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng:  $ \frac{2x^2 – x + 1}{2x^2 + x + 1} > \frac{1}{3}  \forall x \in R $

Đề bài: Cho $3$ số dương $a, b, c$ thỏa $abc = 1$. Chứng minh rằng:  $ a + b + c \ge 3 $ bằng phương pháp phản chứng. Lời giải Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thỏa điều kiện  $ abc = 1 $  mà  $ a + b + c Ta có:  $ a + b + c Thay  $ abc = 1, $  ta có:  $ \begin{array}{l}{a^2}b + a{b^2} + 1  \Leftrightarrow a{b^2} + \left( {{a^2} - 3a} \right)b \end{array} $ … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $3$ số dương $a, b, c$ thỏa $abc = 1$. Chứng minh rằng:  $ a + b + c \ge 3 $ bằng phương pháp phản chứng.

Đề bài: Chứng minh rằng ta luôn luôn có:   $ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca $ với mọi số thực $a, b, c$. Lời giải Giả sử tồn tại 3 số thực a, b, c sao cho ta có: $ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2}  \Leftrightarrow 2({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge 2ab + 2bc + 2ca\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca  \Leftrightarrow {\left( {a - b} … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng ta luôn luôn có:   $ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca $ với mọi số thực $a, b, c$.

Đề bài: Chứng minh rằng  $ \frac{a^6 + b^9}{4} \ge 3a^2b^3 - 16;     b \ge 0 $ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm  $ {\left( {{a^2}} \right)^3},{\left( {{b^3}} \right)^3},{4^3} $  ta có : $ \begin{array}{l}\frac{{{{\left( {{a^2}} \right)}^3} + {{\left( {{b^3}} \right)}^3} + {4^3}}}{3} \ge \sqrt[3]{{{{\left( {{a^2}} \right)}^3}.{{\left( … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng  $ \frac{a^6 + b^9}{4} \ge 3a^2b^3 – 16;     b \ge 0 $