Bất đẳng thức cơ bản

Đề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\)  (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^{2}}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{1}{1+ab}\geq 0\)\(\Leftrightarrow \frac{ab-a^{2}}{(1+a^{2})(1+ab)}+\frac{ab-b^{2}}{(1+b^{2})(1+ab)}\geq 0\)\(\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\)  (1)

Đề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc\). Lời giải Ta có:\(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc \\\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab+ac-2bc\geq 0\)\(\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{2}-b+c \right )^{2}\geq 0\) (đúng)\(\Rightarrow \)đpcm.Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{2}-b+c=0$. ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc\).

Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+2\geq ab+2(a+b)\). Lời giải Ta có: \(a^{2}+b^{2}+4\geq ab+2(a+b)\)\(\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}+4\geq 2ab+4a+4b\)$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-4a+4)+(b^2-4b+4)\ge 0$\(\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(a-2)^{2}+(b-2)^{2}\geq 0\) (đúng) \(\Rightarrow \) đpcm.Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} a=b\\ a=2\\b=2 … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+2\geq ab+2(a+b)\).

Đề bài: Cho \(a\geq b\geq c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\). Lời giải Ta có: \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)\(\Leftrightarrow b^{2}c+c^{2}a+a^{2}b\geq a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b\)$\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(a\geq b\geq c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\).