Đề bài:  Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 2$ ta đều có:                    $2 < {\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)^n} < 3$

Lời giải

Đề bài:
 Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 2$ ta đều có:                    $2 < {\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)^n} < 3$
Lời giải

Ta có : $u_n=(1+\frac{1}{n} )^n=\sum\limits_{k = 0}^n {\mathop C\nolimits_n^k } .\frac{1}{n^k}$
$=1+\frac{n}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}.\frac{1}{n^2}+……..+\frac{n(n-1)…..(n-n+1)}{n!}.\frac{1}{n^n}$
$=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+……+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})……(1-\frac{n-1}{n})$
$\Rightarrow 2$Vậy $2

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác