• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho $f,g:[0,1] \to  [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Các dạng bất đẳng thức khác

adsense
Đề bài: Cho $f,g:[0,1] \to  [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho $f,g:[0,1] \to  [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$
Lời giải

adsense

$\forall x \in [0,1]$,ta có: $0\leq f(x),g(x)\leq 1$
Suy ra: $\begin{cases}0\leq f(x).g(x)\leq f(x) \\  0\leq f(x).g(x)\leq g(x) \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}0\leq \int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx\leq \int\limits_{0}^{1}f(x)dx \\  0\leq \int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx\leq \int\limits_{0}^{1}g(x)dx \end{cases}$
Nhân $2$ vế BĐT này vế với vế,ta được:
$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$
$\Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Các dạng bất đẳng thức khác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}\)  (1)
  2. Đề bài: Cho $a+b+c=6                                                      (1)$Hãy chứng minh $a^2+b^2+c^2 \geq 12      (2)$
  3. Đề bài: Chứng minh rằng:$C_{n}^{0}-\frac{1}{3}C_{n}^{1}+\frac{1}{5}C_{n}^{2}+…+\frac{(-1)^{n}}{2n+1}C_{n}^{n}\geq \sqrt{\frac{3n+1}{4n^{2}+4n+1}}$
  4. Đề bài: Cho ba số $a,b,c$ thoả mãn: $\begin{cases}a+b+c=2 \\ a^2+b^2+c^2=2 \end{cases}$.Chứng minh rằng $0\leq a,b,c\leq \frac{4}{3}$.
  5. Đề bài: Cho $x+2y+3z=2$.Chứng minh rằng:$\sqrt{1+x^{2}}+2\sqrt{1+y^{2}}+3\sqrt{1+z^{2}}\geq 2\sqrt{10}$
  6. Đề bài: Cho $n \in Z,n\geq 2;a_{1},a_{2},…,a_{n} \geq 0$.Chứng minh rằng:$\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n} }{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}…a_{n} }$
  7. Đề bài: Chứng minh rằng với $a, b, c, d, e$ là các số thực nằm trong khoảng $(0, 1)$ thì:    \(\left( {1 – a} \right)\left( {1 – b} \right)\left( {1 – c} \right)\left( {1 – d} \right)\left( {1 – e} \right) > 1 – a – b – c – d – e\)
  8. Đề bài: Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\)
  9. Đề bài: Cho $x,y,z$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}x^2+y^2+z^2=8            (1) \\ xy+yz+zx=4           (2) \end{cases}$Chứng minh $-\frac{8}{3} \leq x;y;z \leq \frac{8}{3}$
  10. Đề bài: Cho tứ diện $ABCD, P$ là một điểm tùy ý trong tứ diện. Gọi $A_1, B_1, C_1,D_1$ là hình chiếu của $P$ lên các mặt $BCD, ACD, ABD$ và $ABC$. Gọi $S$ và $r$ tương ứng là diện tích toàn phần và bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện.  Chứng minh: $\frac{S_{BCD}}{PA_1}+\frac{S_{CDA}}{PB_1}+\frac{S_{DAB}}{PC_1}+\frac{S_{ABC}}{PD_1} \geq \frac{S}{r}$
  11. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $a,b $ luôn có:          $a^2-ab+b^2\geq 0$
  12. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n, p$ ta có:    $\frac{1}{(1+1)\sqrt[p]{1}}+\frac{1}{(2+1)\sqrt[p]{2}}+…+\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}
  13. Đề bài: Cho $n,m \in Z,n,m \geq 2;0
  14. Đề bài: Chứng tỏ rằng nếu ba số $a,b,c$ thoả mãn điều kiện                         $\begin{cases}a+b+c>0 \\ ab+bc+ca>0 \\abc>0\end{cases} $ thì $a,b,c$ là ba số dương.
  15. Đề bài: Giả sử $a\cos2x + b\cos x + 1 \ge 0$ đúng với $\forall x$. Chứng minh $|a|+|b| \le 2$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.