Đề bài: 1) Với $x \in [ – 1;1] $, chứng minh $\sqrt[4]{2} < \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} \le 2$2) Tìm miền giá trị của $y=\sin^{2n}x+\cos^{2n}x$ với $n\in Z^+$ 3) Chứng minh: $4^{|\sin x|} + 2^{|\cos x|} \ge 3$ Lời giải Đề bài: 1) Với $x \in [ – 1;1] […]
Bất đẳng thức - Bài tập tự luận
Đề bài: Cho $a,b,c$ dương chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9}{2}$
Đề bài: Cho $a,b,c$ dương chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9}{2}$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c$ dương chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9}{2}$ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số dương :$a+b+c=\frac{1}{2}[(a+b)+(b+c)+(c+a)] \geq \frac{3}{2}\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}>0 $và $ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)} }>0 $Nhân vế theo vế suy ra đpcm ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức […]
Đề bài: Cho các số thực $a,b$ không âm, chứng minh rằng: $a^3+2b^3\geq 3ab^2$
Đề bài: Cho các số thực $a,b$ không âm, chứng minh rằng: $a^3+2b^3\geq 3ab^2$ Lời giải Đề bài: Cho các số thực $a,b$ không âm, chứng minh rằng: $a^3+2b^3\geq 3ab^2$ Lời giải Ta có $VT=a^3+b^3+b^3\geq 3\sqrt[3]{a^3b^3b^3}=3ab^2$, đpcm.Dấu đẳng thức xảy ra khi: $a^3=b^3=b^3\Leftrightarrow a=b$ ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi
Đề bài: Cho $a,b,c,d>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c} \geq \frac{2}{3}$
Đề bài: Cho $a,b,c,d>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c} \geq \frac{2}{3}$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c,d>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c} \geq \frac{2}{3}$ Lời giải Đặt:$\begin{cases}6x=b+2c+3d >0\\ 6y= c+2d+3a >0\\ 6z=d+2a+3b>0 \\ 6t=a+2b+3c>0\end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}4a=-5x+7y+z+t \\ 4b=x-5y+7z+t\\ 4c=x+y-5z+7t\\ 4d=7x+y+z-5t\end{cases}$Theo BĐT Cauchy:$4(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}+\frac{d}{t})=\frac{-5x+7y+z+t}{x}+\frac{x-5y+7z+t}{y}+\frac{x+y-5z+7t}{z}+\frac{7x+y+z-5t}{t}$$=-20+7(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{t}{z}+\frac{x}{t})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{y}{t}+\frac{t}{y})+(\frac{t}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{t})$$\geq -20+7.4+2+2+4=16$$\Rightarrow \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}+\frac{d}{t}\geq 4$$\Rightarrow \frac{a}{6x}+\frac{b}{6y}+\frac{c}{6z}+\frac{d}{6t}\geq \frac{4}{6}=\frac{2}{3}$Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=t \Leftrightarrow a=b=c=d$$\Rightarrow $ (ĐPCM) ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức […]
Đề bài: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$.Chứng minh rằng: $p=abc\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\leq \frac{8}{729}$
Đề bài: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$.Chứng minh rằng: $p=abc\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\leq \frac{8}{729}$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$.Chứng minh rằng: $p=abc\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\leq \frac{8}{729}$ Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy cho […]
Đề bài: Cho $n$ là một số tự nhiên và $a \in [ 0; n ]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $| {\sum\limits_{i = 1}^n {\sin 2x_i} }|$, biết rằng $\sum\limits_{i = 1}^n {\sin^2}{x_i} = a$
Đề bài: Cho $n$ là một số tự nhiên và $a \in [ 0; n ]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $| {\sum\limits_{i = 1}^n {\sin 2x_i} }|$, biết rằng $\sum\limits_{i = 1}^n {\sin^2}{x_i} = a$ Lời giải Đề bài: […]
Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$. Sử dụng kết quả tìm được để giải phương trình : $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11$
Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$. Sử dụng kết quả tìm được để giải phương trình : $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11$ Lời giải Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$. Sử dụng kết quả tìm được để giải phương trình : $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11$ Lời giải Hàm số đã […]
Đề bài: Cho các số thực $x,y\geq 1$ chứng minh rằng: $x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$
Đề bài: Cho các số thực $x,y\geq 1$ chứng minh rằng: $x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$ Lời giải Đề bài: Cho các số thực $x,y\geq 1$ chứng minh rằng: $x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$ Lời giải Lần lượt ta có: $ \displaystyle x\sqrt{(y-1).1}\leq x.\frac{(y-1)+1}{2}=\frac{xy}{2}$ $ \displaystyle y\sqrt{(x-1).1}\leq y.\frac{(x-1)+1}{2}=\frac{xy}{2}$.Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng […]
Đề bài: Chứng minh rằng nếu $0 < b < a$ thì $\frac{{a - b}}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{{a - b}}{b}$
Đề bài: Chứng minh rằng nếu $0 < b < a$ thì $\frac{{a - b}}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{{a - b}}{b}$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng nếu $0 < b < a$ thì $\frac{{a - b}}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{{a - b}}{b}$ Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương […]
Đề bài: 1) Với $x \in [ – 1;1] $, chứng minh $\sqrt[4]{2} < \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} \le 2$2) Tìm miền giá trị của $y=\sin^{2n}x+\cos^{2n}x$ với $n\in Z^+$ 3) Chứng minh: $4^{|\sin x|} + 2^{|\cos x|} \ge 3$
Đề bài: 1) Với $x \in [ – 1;1] $, chứng minh $\sqrt[4]{2} < \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} \le 2$2) Tìm miền giá trị của $y=\sin^{2n}x+\cos^{2n}x$ với $n\in Z^+$ 3) Chứng minh: $4^{|\sin x|} + 2^{|\cos x|} \ge 3$ Lời giải Đề bài: 1) Với $x \in [ – 1;1] […]