Đề bài: Cho  $\begin{cases}x,y,z,t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \\\sin x+\sin y+\sin z+\sin t= 1\\\cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+\cos 2t \geq \frac{10}{3}\end{cases}$Chứng minh rằng:  $ x,y,z,t \in [0;\frac{\pi}{6}]$

Lời giải

Đề bài:
Cho  $\begin{cases}x,y,z,t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \\\sin x+\sin y+\sin z+\sin t= 1\\\cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+\cos 2t \geq \frac{10}{3}\end{cases}$Chứng minh rằng:  $ x,y,z,t \in [0;\frac{\pi}{6}]$
Lời giải

 Đặt :  $a=\sin x,   b=\sin y,   c=\sin z,   d=\sin t$
Khi đó:   $\begin{cases}a+b+c+d=1 \\ a^2+b^2+c^2+d^2\leq \frac{1}{3} \end{cases}$
$\Rightarrow  \left ( a-\frac{1}{6} \right )^2+\left ( b-\frac{1}{6} \right )^2+\left ( c-\frac{1}{6} \right )^2+\left ( d-\frac{1}{6} \right )^2=$
    $=a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{1}{3}(a+b+c+d)+\frac{1}{9} \leq \frac{1}{9}$
$\Rightarrow  |a|,|b|,|c|,|d|  \leq \frac{1}{2}      (1)$
 Hơn nữa  $0\leq \left ( b-\frac{1}{3} \right )^2+\left ( c-\frac{1}{3} \right )^2+\left ( d-\frac{1}{3} \right )^2$
                     $=b^2+c^2+d^2-\frac{2}{3}(b+c+d)+\frac{1}{3}$
                     $\leq \frac{1}{3}-\frac{2}{3}(1-a)+\frac{1}{3}\leq \frac{2a}{3}$
$\Rightarrow       a>0$
 Chứng minh tương tự :  $b,c,d>0    (2)$
 $(1)$ và $(2)$  $\Rightarrow 0 \leq a,b,c,d\leq \frac{1}{2}  \Rightarrow 0\leq x,y,z,t \leq \frac{\pi}{6}$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác