Đề bài: Có tồn tại $x \in R$ sao cho: $\frac{1}{3}\leq \frac{\tan3x}{\tan x}\leq 3$

Lời giải

Đề bài:
Có tồn tại $x \in R$ sao cho: $\frac{1}{3}\leq \frac{\tan3x}{\tan x}\leq 3$
Lời giải

Giả sử tồn tại $x \in R$ để:
$\frac{1}{3}\leq \frac{\tan3x}{\tan x}\leq 3(1)$

ĐK: $\begin{cases} tanx\neq 0 \\ cos3x\neq
0\end{cases}$$\Leftrightarrow$$\begin{cases} x\neq k\pi \\
x\neq\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3}\end{cases}(k\in Z)$

Lúc đó:
$ (1)\Rightarrow\frac{1}{3}\leq \frac{3-\tan^{2}x}{1-3\tan^{2} x}\leq 3$(vì $tan3x=\frac{3tanx-tan^3x}{1-3tan^2x}$)
$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{8}{1-3\tan^{2} x}\geq 0 \\  \frac{8\tan^{2}x}{1-3\tan^{2} x}\leq 0 \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}1-3\tan^{2} x>0 \\ 1-3\tan^{2} x Vậy không tồn tại $x \in R$ thỏa mãn:
$\frac{1}{3}\leq \frac{\tan3x}{\tan x}\leq 3$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức lượng giác