Đề bài: Chứng minh:a) $\frac{\sin x+\sin y}{2}\leq \sin\frac{x+y}{2}$     với   $0\leq x+y\leq 2\pi$b) $\frac{\cos x+\cos y}{2}\leq \cos\frac{x+y}{2}$   với   $-\pi

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh:a) $\frac{\sin x+\sin y}{2}\leq \sin\frac{x+y}{2}$     với   $0\leq x+y\leq 2\pi$b) $\frac{\cos x+\cos y}{2}\leq \cos\frac{x+y}{2}$   với   $-\pi
Lời giải

a) Ta có:     
+ $0\leq x+y\leq 2\pi$
$\Rightarrow 0\leq \frac{x+y}{2}\leq\pi\Rightarrow \sin\frac{x+y}{2}\geq0$

+ $\cos\frac{x-y}{2}\leq1\forall x;y\Rightarrow \sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\leq\sin\frac{x+y}{2}$

                                 $\Rightarrow \frac{\sin x+\sin y}{2}\leq\sin\frac{x+y}{2}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \cos\frac{x-y}{2}=1\Leftrightarrow x=y.$

b) Ta có:     
+ $-\pi$\Rightarrow -\frac{\pi}{2}0.$

+ $\cos\frac{x-y}{2}\leq1\forall x;y\Rightarrow \cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\leq\cos\frac{x+y}{2}$

                                 $\Rightarrow \frac{\cos x+\cos y}{2}\leq\cos\frac{x+y}{2}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \cos\frac{x-y}{2}=1\Leftrightarrow x=y.$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức lượng giác