Lời giải
Đề bài:
Chứng minh:a) $\frac{\sin x+\sin y}{2}\leq \sin\frac{x+y}{2}$ với $0\leq x+y\leq 2\pi$b) $\frac{\cos x+\cos y}{2}\leq \cos\frac{x+y}{2}$ với $-\pi
Lời giải
a) Ta có:
+ $0\leq x+y\leq 2\pi$
$\Rightarrow 0\leq \frac{x+y}{2}\leq\pi\Rightarrow \sin\frac{x+y}{2}\geq0$
+ $\cos\frac{x-y}{2}\leq1\forall x;y\Rightarrow \sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\leq\sin\frac{x+y}{2}$
$\Rightarrow \frac{\sin x+\sin y}{2}\leq\sin\frac{x+y}{2}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \cos\frac{x-y}{2}=1\Leftrightarrow x=y.$
b) Ta có:
+ $-\pi$\Rightarrow -\frac{\pi}{2}0.$
+ $\cos\frac{x-y}{2}\leq1\forall x;y\Rightarrow \cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\leq\cos\frac{x+y}{2}$
$\Rightarrow \frac{\cos x+\cos y}{2}\leq\cos\frac{x+y}{2}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \cos\frac{x-y}{2}=1\Leftrightarrow x=y.$
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức lượng giác
Trả lời